複素解析・リーマン面の問題

$X$ を種数 $6$ のコンパクトリーマン面とし、$\sigma$ を $X$ の位数 $4$ の正則自己同型とする。$\sigma$ の固定点はちょうど $2$ 個であり、${\sigma }^2$ の固定点はちょうど $6$ 個である（$\sigma$ の固定点も ${\sigma }^2$ の固定点に含めて数える）。$H=⟨\sigma ⟩$（位数 $4$ の巡回群）とし、商写像 $\pi :X\to X/H$ を考える。商リーマン面 $X/H$ の種数 $h$ を求めよ。

複素平面曲線
$$y^4=x^2(x-1)(x+1)(x-2)$$
を考える。右辺を $f(x)=x^2(x-1)(x+1)(x-2)$ とおくと、$y^4-f(x)$ は $\mathbb{C}(x)[y]$ の既約多項式である。この曲線の射影的非特異モデル（正規化をとってコンパクト化したもの）として得られるコンパクトリーマン面を $X$ とし、$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ を $x$ 座標による次数 $4$ の正則写像とする。$X$ の種数 $g$ を求めよ。

複素アフィン平面曲線
$$y^3=x(x-1)$$
を考える。多項式 $F(x,y)=y^3-x^2+x$ は $\mathbb{C}[x,y]$ で既約であり、この曲線の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面を $X$ とする。座標関数 $x$ が定める正則写像 $x:X\to {\mathbb{P}}^1$（次数 $3$）について、点 $p\in X$ における分岐指数を $e_p$ とする。総和
$$\sum _{p\in X}(e_p-1)$$
を求めよ。

$X$ を、アフィン曲線
$$y^2=x^8+x$$
の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面とする（$x^8+x$ は重根をもたないので、$X$ は種数 $3$ の超楕円曲線である）。$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 $2$ の正則写像で、$x=\infty$ の上には相異なる $2$ 点 ${\infty }_{+},{\infty }_{-}$ があり、そこでは分岐しない。

因子 $D=2{\infty }_{+}+{\infty }_{-}$ に対して
$$L(D)=\{h\mid h\text{ は }X\text{ 上の有理型関数で }\mathrm{div}(h)+D\ge 0\}\cup \{0\}$$
とおき、$\ell (D)={\dim }_{\mathbb{C}}L(D)$ とする。$\ell (D)$ を求めよ。

多項式 $$p(z)=3z^4-4z^3-12z^2$$ を考え、$t=p(z)$ とおく。体の拡大 $\mathbb{C}(z)/\mathbb{C}(t)$ は次数 $4$ の有限次分離拡大である。その（$\mathbb{C}(z)$ を含む）ガロア閉包を $L$ とし、$L$ を関数体とするコンパクトリーマン面を $X$ とする。$X$ の種数 $g(X)$ を求めよ。