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複素解析・リーマン面の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学複素解析・リーマン面

複素平面曲線
$y^{4} = x^{2} (x - 1) (x + 1) (x - 2)$
を考える。右辺を $f (x) = x^{2} (x - 1) (x + 1) (x - 2)$ とおくと、 $y^{4} - f (x)$ は $C (x) [y]$ の既約多項式である。この曲線の射影的非特異モデル（正規化をとってコンパクト化したもの）として得られるコンパクトリーマン面を $X$ とし、 $x : X \to P^{1}$ を $x$ 座標による次数 $4$ の正則写像とする。 $X$ の種数 $g$ を求めよ。

この問題で使うもの

$y^{n} = f (x)$ 型曲線の分岐と種数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（63 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「 $y^{n} = f (x)$ 型曲線の分岐と種数」を使う。各根 $a_{i}$ の重複度 $m_{i}$ と $\infty$ での $de g f$ から分岐の様子を読み取り、リーマン・フルヴィッツの公式に入れる。

ヒント 2

$a_{i}$ の上には $g cd (n, m_{i})$ 個の点があり、各分岐指数は $\frac{n}{g c d ( n , m _{i} )}$ 。 $\infty$ では $m_{i}$ の代わりに $de g f = 5$ を使う。公式は $2 g - 2 = de g x (2 \cdot 0 - 2) + \sum (e_{p} - 1)$ 。

ヒント 3

$x = 0$ の寄与は $2$ 、 $x = 1, - 1, 2$ と $x = \infty$ の寄与はそれぞれ $3$ で、合計は $14$ になる。

答えと解説

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4

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解説を読む

方針. $y^{n} = \prod (x - a_{i})^{m_{i}}$ 型の曲線では、 $a_{i}$ の上に $g cd (n, m_{i})$ 個の点があり、各点の分岐指数は $\frac{n}{g cd ( n , m _{i} )}$ である。 $x = \infty$ では $m_{\infty} = de g f$ として同じ規則を使う。これをリーマン・フルヴィッツの公式に入れる。

ここで $n = 4$ であり、 $de g x = 4$ である。

1. 各分岐候補点の様子.
- $x = 0$ : $m = 2$ 。 $g cd (4, 2) = 2$ なので上に $2$ 点、各分岐指数 $\frac{4}{2} = 2$ 。寄与 $\sum (e_{p} - 1) = 2 \cdot (2 - 1) = 2$ 。
- $x = 1$ : $m = 1$ 。 $g cd (4, 1) = 1$ なので上に $1$ 点、分岐指数 $4$ 。寄与 $4 - 1 = 3$ 。
- $x = - 1$ : 同様に $m = 1$ で寄与 $3$ 。
- $x = 2$ : 同様に $m = 1$ で寄与 $3$ 。
- $x = \infty$ : $de g f = 2 + 1 + 1 + 1 = 5$ 。 $g cd (4, 5) = 1$ なので上に $1$ 点、分岐指数 $4$ 。寄与 $3$ 。
- それ以外の $x = c$ では $f (c) \neq = 0$ なので $y$ の値が $4$ 個あり、分岐しない。

（確認: どのファイバーでも（点の個数） $\times$ （分岐指数） $= 4 = de g x$ になっている。）

よって
$p \in X \sum (e_{p} - 1) = 2 + 3 + 3 + 3 + 3 = 14.$

2. リーマン・フルヴィッツの公式. $P^{1}$ の種数は $0$ なので
$2 g - 2 = 4 (2 \cdot 0 - 2) + 14 = - 8 + 14 = 6.$
したがって $g = 4$ である。

別解

$X \to P^{1}$ は $y^{4} = f (x)$ による巡回 4 次被覆（既約なので次数 4）。分岐は $f$ の零点・極の位数で決まる。\n\n- $x = 0$ : $f$ の位数 2。 $g cd (4, 2) = 2$ なので上に点が 2 個あり、各点の分岐指数は $e = 2$ 。寄与は $2 \times (2 - 1) = 2$ 。\n- $x = 1, - 1, 2$ : 位数 1。 $g cd (4, 1) = 1$ で上に点が 1 個、 $e = 4$ 。寄与は各 $3$ 、合計 $9$ 。\n- $x = \infty$ : $de g f = 5$ なので $\infty$ での位数は $- 5$ 。 $g cd (4, 5) = 1$ で上に点が 1 個、 $e = 4$ 。寄与は $3$ 。\n- その他の点では不分岐。\n\nリーマン・フルヴィッツの公式より $2 g - 2 = 4 \cdot (2 \cdot 0 - 2) + (2 + 9 + 3) = - 8 + 14 = 6$ 。よって $g = 4$ 。\n\n検算: 点の数は $2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6$ 個の分岐点上の点があり、 $c hi (X)$ の別計算で、 $c hi (X) = 4 \cdot 2 - \sum (4 - # fiber) = 8 - (2 + 3 + 3 + 3 + 3) = - 6$ より $2 - 2 g = - 6$ 、 $g = 4$ 。一致。

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