複素解析・リーマン面の問題

$x:X\to {\mathbb{P}}^1$（次数 $3$）にリーマン・フルヴィッツの公式
$$2g-2=3(2\cdot 0-2)+\sum _{P\in X}(e_P-1)$$
を用いる（$e_P$ は $P$ での分岐指数）。

有限部分の分岐. $x=c$ 上のファイバーは $y^3-3y-c^4=0$ の根に対応する。$y^3+py+q$ の判別式 $-4p^3-27q^2$ に $p=-3,q=-c^4$ を代入すると
$$108-27c^8=27(4-c^8)$$
なので、重根をもつのは $c^4=\pm 2$、すなわち $c^8=4$ のときで、そのような $c$ は $8$ 個ある。
- $c^4=2$ のとき $y^3-3y-2=(y+1{)}^2(y-2)$、
- $c^4=-2$ のとき $y^3-3y+2=(y-1{)}^2(y+2)$

で、どちらも重根を $1$ つだけもつ。重根に対応する点 $(c,\mp 1)$ では $F=y^3-3y-x^4$ について $F_y=3y^2-3=0,F_x=-4c^3\ne 0$ なので $y$ が局所座標になり、$x-c$ は $y\pm 1$ について $2$ 位で消える。よってこの点の分岐指数は $2$、もう一方の点は分岐しない。有限部分の寄与は $8\cdot (2-1)=8$。

無限遠点上. $x=\infty$ の上の点 $P$ で $e=e_P$ とすると、$P$ での付値は $v_P(x)=-e$。このとき $y$ も極をもち $v_P(y)<0$ なので $v_P(y^3-3y)=3v_P(y)$。方程式から $3v_P(y)=4v_P(x)=-4e$ となり $3\mid 4e$、よって $3\mid e$。$e\le 3$ より $e=3$ で、$x=\infty$ の上にはただ $1$ 点があり完全分岐する。寄与は $3-1=2$。

結論.
$$2g-2=-6+8+2=4⟹g=3.$$

検算（別の射影 $y:X\to {\mathbb{P}}^1$）. $x^4=y^3-3y=y(y-\sqrt{3})(y+\sqrt{3})$ より $y$ は次数 $4$ の巡回被覆で、$y=0,\pm \sqrt{3}$ では完全分岐（各 $e=4$）。$y=\infty$ では $4v(x)=3v(y)$ から $4\mid 3e$ となり $e=4$。よって $2g-2=4\cdot (-2)+4\cdot 3=4$ で、やはり $g=3$。

$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 3 なので、リーマン・フルヴィッツの公式 $2g-2=3(-2)+{\sum }_P(e_P-1)$ を使う。

有限の $x$ について: $f(y)=y^3-3y-x^4$ が重根をもつ条件は $f^{\prime }(y)=3y^2-3=0$ すなわち $y=\pm 1$ で $f=0$。$y=1$ のとき $x^4=-2$、$y=-1$ のとき $x^4=2$。それぞれ $x^4=\pm 2$ の 4 個ずつ、合計 8 個の $x$ で重根をもつ。そこでは $f(y)=0$ の根は 1 つが二重根、もう 1 つが単根で、曲線は非特異（$\partial f/\partial x=-4x^3\ne 0$）なので、二重根の位置の点は $y$ を局所座標として $t=x^4$ と合わせ $x$ が局所座標になる。この点で $f_y=0$, $f_x\ne 0$ だから $y$ が $x$ の 2 位の分岐を起こし、$e=2$ である。各点が寄与 1 なので有限部分の寄与は $8$。ほかの有限の $x$ では 3 根が相異なり不分岐。

$x=\infty$ について: $y^3\approx x^4$ で、$\gcd (3,4)=1$ なのでただ 1 点が $x=\infty$ の上にあり、$e=3$（完全分岐）。寄与は $2$。

合計 $\sum (e_P-1)=8+2=10$。$2g-2=-6+10=4$ より $g=3$。

検算: ニュートン多角形 $(0,3),(4,0),(0,0)$ の内部格子点数は $\frac{(3-1)(4-1)}{2}=3$（$y^3=x^4$ 型の曲線の種数 $(3-1)(4-1)/2=3$ と一致、非退化なので種数はこれに等しい）。