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複素解析・リーマン面の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学複素解析・リーマン面

複素アフィン平面曲線
$C : y^{12} = x^{3} (x - 1)^{4} (x - 2)^{6}$
を考える。 $C$ は特異点をもつ。 $C$ の射影的非特異モデル（正規化をとってコンパクト化したもの）として得られるコンパクトリーマン面を $X$ とする。有理関数 $x$ は正則写像 $x : X \to P^{1}$ を定める。

この $X$ の種数 $g$ を求めよ。

この問題で使うもの

$y^{n} = f (x)$ 型曲線の分岐と種数（説明と入口の問題）
リーマン・フルヴィッツの公式（説明と入口の問題）
正則写像の次数と分岐指数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（63 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$x : X \to P^{1}$ を次数 $12$ の巡回被覆とみて、分岐点ごとに分岐指数を求め、リーマン・フルヴィッツの公式 $2 g - 2 = n (- 2) + \sum (e_{P} - 1)$ を使う。 $x = \infty$ も忘れずに調べる。

ヒント 2

$x = a$ で $f$ の位数が $m$ なら、 $a$ の上の点は $g cd (12, m)$ 個で、各点の分岐指数は $12/ g cd (12, m)$ である。 $x = \infty$ での位数は $- (3 + 4 + 6) = - 13$ 。

ヒント 3

$x = 0, 1, 2$ での寄与 $\sum (e - 1)$ はそれぞれ $9, 8, 6$ である。あとは $\infty$ での寄与を加えて公式に代入する。

答えと解説

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6

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解説を読む

$f (x) = x^{3} (x - 1)^{4} (x - 2)^{6}$ 、 $n = 12$ とおく。

1. 既約性と写像の次数

カペリの定理によると、 $T^{n} - a$ が $C (x)$ 上で既約であるための条件は次の二つである。
- $n$ を割る各素数 $p$ について、 $a$ が $p$ 乗でない。
- $4 ∣ n$ のとき、 $a \neq = - 4 b^{4}$ である。

$n = 12$ なので $p = 2, 3$ を調べる。
- $x$ の指数 $3$ は偶数でないから、 $f$ は平方でない。
- $(x - 1)$ の指数 $4$ は $3$ の倍数でないから、 $f$ は立方でない。
- $- 4 b^{4}$ の形なら各指数が $4$ の倍数になるはずだが、指数 $3$ がそうでないので、この形でもない。

よって $T^{12} - f$ は既約であり、 $[C (x, y) : C (x)] = 12$ である。したがって $x : X \to P^{1}$ は次数 $12$ の正則写像である。

2. 局所的な分岐の様子

点 $x = a$ での局所座標を $t = x - a$ とし、 $f = t^{m} u$ （ $u$ は $a$ の近くで正則で $0$ にならない）と書く。

$u$ は局所的に $12$ 乗根 $w$ をもつので、 $y^{'} = y / w$ とおくと $y^{' 12} = t^{m}$ となる。

$d = g cd (12, m)$ 、 $12 = d n^{'}$ 、 $m = d m^{'}$ とすると
$T^{12} - t^{m} = ζ^{d} = 1 \prod (T^{n^{'}} - ζ t^{m^{'}})$
と分解する。 $g cd (n^{'}, m^{'}) = 1$ なので、各因子は $C ((t))$ 上既約で完全分岐である。

したがって、 $a$ の上には $d$ 個の点があり、各点の分岐指数は $e = 12/ d$ である。

$m = 0$ （ $f (a) \neq = 0$ の点）のとき、 $d = 12$ なので不分岐である。
$x = 0$ ： $m = 3$ 、 $d = 3$ より、 $3$ 点で $e = 4$ 。寄与 $\sum (e - 1) = 3 \cdot 3 = 9$ 。
$x = 1$ ： $m = 4$ 、 $d = 4$ より、 $4$ 点で $e = 3$ 。寄与 $4 \cdot 2 = 8$ 。
$x = 2$ ： $m = 6$ 、 $d = 6$ より、 $6$ 点で $e = 2$ 。寄与 $6 \cdot 1 = 6$ 。
$x = \infty$ ： $s = 1/ x$ とすると $f = s^{- 13} \cdot (単数)$ で、 $m = - 13$ 。 $g cd (12, 13) = 1$ より $1$ 点で $e = 12$ （完全分岐）。寄与 $11$ 。

分岐の寄与の総和は
$9 + 8 + 6 + 11 = 34$
である。

3. リーマン・フルヴィッツの公式

$2 g - 2 = 12 (2 \cdot 0 - 2) + P \in X \sum (e_{P} - 1) = - 24 + 34 = 10$
よって $g = 6$ である。

（検算：巡回被覆の公式 $g = 1 + \frac{1}{2} (n (k - 2) - \sum_{i} g cd (n, m_{i}))$ を使う。分岐点の個数は $k = 4$ なので
$g = 1 + \frac{1}{2} (24 - (3 + 4 + 6 + 1)) = 6$
となり、一致する。）

答え： $g = 6$

別解

$C$ の関数体は $C (x) [y] / (y^{12} - x^{3} (x - 1)^{4} (x - 2)^{6})$ である。指数 $3, 4, 6, 12$ の最大公約数は $1$ なので、この多項式は既約であり、 $x : X \to P^{1}$ は次数 $12$ の巡回被覆（クンマー拡大）となる。

各分岐点で、 $x$ の局所パラメータに対する $y$ の位数が指数 $a$ のとき、その上の点は $g cd (12, a)$ 個あり、各点の分岐指数は $12/ g cd (12, a)$ である。

$x = 0$ （指数 3）: $g cd = 3$ より点は 3 個、 $e = 4$ 。寄与は $12 - 3 = 9$ 。
$x = 1$ （指数 4）: $g cd = 4$ より点は 4 個、 $e = 3$ 。寄与は $12 - 4 = 8$ 。
$x = 2$ （指数 6）: $g cd = 6$ より点は 6 個、 $e = 2$ 。寄与は $12 - 6 = 6$ 。
$x = \infty$ : $y^{12}$ の次数は $3 + 4 + 6 = 13$ で、指数は $- 13$ 。 $g cd (12, 13) = 1$ より点は 1 個、 $e = 12$ 。寄与は $12 - 1 = 11$ 。

それ以外の点では不分岐である。

リーマン–フルヴィッツの公式より
$2 g - 2 = 12 \cdot (- 2) + (9 + 8 + 6 + 11) = - 24 + 34 = 10$ 。
よって $g = 6$ 。

検算: 分岐の総和 $34$ は偶数で、 $g$ は整数になる。

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