複素解析・リーマン面の問題

方針

$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 $n=6$ の正則写像（巡回被覆）なので、リーマン・フルヴィッツの公式
$$2g-2=n(2\cdot 0-2)+\sum _{P\in X}(e_P-1)$$
が使える。ここで $e_P$ は $P$ における分岐指数である。

分岐の決め方

点 $c\in {\mathbb{P}}^1$ の近くで局所座標 $t$ をとり、$f$ が $t^{a}u(t)$（$u(0)\ne 0$）と書けるとする。$u$ は $c$ の近くで 6 乗根をもつので、$y$ を $y{u}^{-1/6}$ に置き換えれば局所的に $y^6=t^a$ となる。$d=\gcd (6,a)$ とおくと、$y^6-t^a={\prod }_{{\zeta }^d=1}(y^{6/d}-\zeta t^{a/d})$ と $d$ 個の既約因子に分かれ、各因子 $y^{6/d}=\zeta t^{a/d}$（$\gcd (6/d,a/d)=1$）は分岐指数 $6/d$ の点を 1 つ与える。よって $c$ の上には $d$ 個の点があり、それぞれの分岐指数は $6/d$ で、
$$\sum _{P\mapsto c}(e_P-1)=d\left(\frac{6}{d}-1\right)=6-\gcd (6,a)$$
となる。$a\equiv 0(\mathrm{mod}6)$ なら不分岐である。

各点の寄与

• $x=0$: $a=2$、$\gcd (6,2)=2$。寄与 $6-2=4$
• $x=1$: $a=3$、$\gcd (6,3)=3$。寄与 $6-3=3$
• $x=-1$: $a=5$、$\gcd (6,5)=1$。寄与 $6-1=5$
• $x=\infty$: 局所座標 $t=1/x$ をとると $f=t^{-10}\cdot (1-t{)}^3(1+t{)}^5$ なので $a=-10$。$\gcd (6,10)=2$。寄与 $6-2=4$
• その他の $x$: $f(x)\ne 0,\infty$ なので $a=0$ で不分岐

分岐の総和は $4+3+5+4=16$ である。

種数

$$2g-2=6\cdot (-2)+16=4$$
より $g=3$ である。

$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ は $y^6=f(x)$ による巡回被覆（次数 6）で、分岐は $f$ の零点・極の位数と 6 の関係で決まる。$x=a$ での $f$ の位数を $e$ とすると、$a$ の上には $\gcd (6,e)$ 個の点があり、各点の分岐指数は $6/\gcd (6,e)$ である。

• $x=0$: $e=2$。$\gcd =2$ なので点は 2 個、分岐指数 3。寄与 $2\times (3-1)=4$。
• $x=1$: $e=3$。$\gcd =3$ なので点は 3 個、分岐指数 2。寄与 $3\times (2-1)=3$。
• $x=-1$: $e=5$。$\gcd =1$ なので点は 1 個、分岐指数 6。寄与 $6-1=5$。
• $x=\infty$: $f$ の次数は $2+3+5=10$ なので位数は $e=-10$。$\gcd (6,10)=2$ なので点は 2 個、分岐指数 3。寄与 $2\times 2=4$。
• そのほかの点は不分岐。

総分岐数 $R=4+3+5+4=16$。リーマン・フルヴィッツの公式より
$2g-2=6\cdot (2\cdot 0-2)+16=-12+16=4$。よって $g=3$。

検算: 部分被覆で確かめる。$y^6=f$ の中間体 $w=y^3$ は $w^2=f$ で、$f$ の奇数位数の点は $x=1,-1,\infty$ の 3 点だけ（$\infty$ の位数 $-10$ は偶数）なので、分岐点は 2 点ではなく $x=1,-1$ の 2 点となり種数 0。もう一つの中間体 $u=y^2$ は $u^3=f$ で、位数が 3 の倍数でないのは $x=0,-1,\infty$ の 3 点で、各 1 点・分岐指数 3 なので $2g-2=3(-2)+3\cdot 2=0$、種数 1。いずれも $g=3$ と矛盾しない（全体の種数が部分被覆の種数以上であること）。