$y^n=f(x)$ 型曲線の分岐と種数

既約性（$X$ が連結であること）。 以下、$\gcd (n,m_1,m_2,\dots )=1$ を仮定します。$f(b)\ne 0$ となる点 $b$ の近くでは $f$ の $n$ 乗根が正則に 1 本 $y_0$ とれ、$y^n=f$ の解は $\zeta =e^{2\pi i/n}$ として $y_k={\zeta }^k{y}_0$（$k=0,\dots ,n-1$）の $n$ 本（$n$ 枚のシート）です。$a_i$ のまわりを小さく 1 周すると、$f$ の偏角は $2\pi m_i$ 増えるので $y_0$ は $e^{2\pi i{m}_i/n}{y}_0={\zeta }^{m_i}{y}_0$ に移ります。したがって $y_0$ からたどり着けるシートは ${\zeta }^k{y}_0$ で $k$ が $m_1,m_2,\dots$ の整数係数の和（$n$ を法として）になるものであり、それは $\gcd (n,m_1,m_2,\dots )$ の倍数全体です。仮定よりこれは $1$ なので $n$ 枚すべてがつながり、$X$ は連結、$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ の次数は $n$ です。代数的に言い換えると、$n$ のどの素因数 $p$ もすべての $m_i$ を割ることはないので、$f$ は $\mathbb{C}(x)$ の中で $p$ 乗にならず（$p$ 乗なら各根の重複度が $p$ の倍数になる）、これが $y^n-f$ が $\mathbb{C}(x)$ 上既約であることと同値です。逆に $\gcd =G>1$ なら $f=h^G$（$h\in \mathbb{C}(x)$）と書けて $y^n-f={\prod }_{{\zeta }^G=1}(y^{n/G}-\zeta h)$ と分解し、$X$ は連結になりません。また、$f(b)\ne 0$, $b\ne \infty$ の点 $b$ の上には上の $n$ 本に対応する $n$ 個の点があり分岐しないので、分岐が起こりうるのは $a_i$ と $\infty$ の上だけです。

根 $a_i$ の上。 $a=a_i$, $m=m_i$ とし、$s=x-a$ とおくと $f=s^{m}u(s)$（$u$ は正則で $u(0)\ne 0$）です。$u$ は $s=0$ の近くで正則な $n$ 乗根 $h$（$h^n=u$, $h(0)\ne 0$）をもつので、$w=y/h$ とおけば局所的に方程式は $w^n=s^m$ になります。$g=\gcd (n,m)$, $n=g{n}^{\prime }$, $m=g{m}^{\prime }$（$\gcd (n^{\prime },m^{\prime })=1$）とすると
$$w^n-s^m=\prod _{{\zeta }^g=1}\left(w^{n^{\prime }}-\zeta s^{m^{\prime }}\right)$$
と $g$ 個の因子に分かれます。$s\ne 0$ では異なる $\zeta$ の因子は共通の解をもたないので、$s=0$ の近く（$s=0$ を除く）で曲線は $g$ 本の枝に分かれます。各枝 $w^{n^{\prime }}=\zeta s^{m^{\prime }}$ について、${\eta }^{n^{\prime }}=\zeta$ となる $\eta$ を 1 つ選び
$$t⟼(s,w)=(t^{n^{\prime }},\eta t^{m^{\prime }})$$
を考えます。これは $t=0$ を除いた小さな円板からこの枝（$s\ne 0$ の部分）への全単射です。実際、単射性: $t_1^{n^{\prime }}=t_2^{n^{\prime }}$, $t_1^{m^{\prime }}=t_2^{m^{\prime }}$（$t_1,t_2\ne 0$）なら $r=t_1/t_2$ は $r^{n^{\prime }}=r^{m^{\prime }}=1$ を満たし、$a{n}^{\prime }+b{m}^{\prime }=1$ となる整数 $a,b$ をとれば $r=r^{a{n}^{\prime }+b{m}^{\prime }}=1$。全射性: 枝上の点 $(s,w)$ に対し $t_0^{n^{\prime }}=s$ となる $t_0$ をとると $(w/(\eta t_0^{m^{\prime }}){)}^{n^{\prime }}=1$ なので $w=\eta \epsilon t_0^{m^{\prime }}$（${\epsilon }^{n^{\prime }}=1$）。$m^{\prime }$ は $n^{\prime }$ を法として逆元をもつので $\epsilon ={\delta }^{m^{\prime }}$ となる $1$ の $n^{\prime }$ 乗根 $\delta$ があり、$t=\delta t_0$ とすれば $(t^{n^{\prime }},\eta t^{m^{\prime }})=(s,w)$。よって各枝は穴あき円板と同じ形をしていて、非特異モデルでは穴をふさいだ 1 点として現れ、$t$ がその点の局所座標になります。その点で $x-a=s=t^{n^{\prime }}$ なので分岐指数は $n^{\prime }=\frac{n}{g}$ です。まとめると、$a_i$ の上には $\gcd (n,m_i)$ 個の点があり、各点の分岐指数は $\frac{n}{\gcd (n,m_i)}$ です（合計 $\gcd (n,m_i)\cdot \frac{n}{\gcd (n,m_i)}=n$ で次数と合う）。

$\infty$ の上。 $d=\mathrm{deg}f={\sum }_i{m}_i$ とし、局所座標 $t=1/x$ を使うと $f=t^{-d}v(t)$（$v$ は $t=0$ の近くで正則, $v(0)=c\ne 0$）です。$v$ の正則な $n$ 乗根 $k$ をとって $w=y/k$ とおくと方程式は $w^n=t^{-d}$、すなわち $w^n{t}^d=1$ になります。$g=\gcd (n,d)$, $n=g{n}^{\prime }$, $d=g{d}^{\prime }$ とすると $(w^{n^{\prime }}{t}^{d^{\prime }}{)}^g=1$ なので、$t\ne 0$ の近くで曲線は $w^{n^{\prime }}{t}^{d^{\prime }}=\zeta$（${\zeta }^g=1$）の $g$ 本の枝に分かれます。各枝は ${\eta }^{n^{\prime }}=\zeta$ として
$$\tau ⟼(t,w)=({\tau }^{n^{\prime }},\eta {\tau }^{-d^{\prime }})$$
で、$\tau =0$ を除いた小円板と全単射に対応します（実際 $w^{n^{\prime }}{t}^{d^{\prime }}={\eta }^{n^{\prime }}{\tau }^{-n^{\prime }{d}^{\prime }}{\tau }^{n^{\prime }{d}^{\prime }}=\zeta$ で、単射性・全射性は上と同じく $\gcd (n^{\prime },d^{\prime })=1$ から従う）。よって各枝は $\tau$ を局所座標とする 1 点で、$1/x=t={\tau }^{n^{\prime }}$ なので分岐指数は $n^{\prime }$。$\infty$ の上には $\gcd (n,d)$ 個の点、各分岐指数 $\frac{n}{\gcd (n,d)}$ です（$n\mid d$ なら分岐しない）。

各ファイバーの寄与は $\sum (e_p-1)=n-(\text{点の個数})$ なので、リーマン・フルヴィッツの公式（$g_{{\mathbb{P}}^1}=0$）から
$$2g_X-2=-2n+\sum _i(n-\gcd (n,m_i))+(n-\gcd (n,d))$$
が得られます。