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複素解析・リーマン面の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学複素解析・リーマン面

有理関数体 $C (x)$ の代数拡大体
$K = C (x) (y, w), y^{2} = x^{5} - x, w^{2} = x^{3} + 1$
を考える。 $x^{5} - x$ , $x^{3} + 1$ , $(x^{5} - x) (x^{3} + 1)$ はいずれも $C (x)$ の中で平方元ではないので、 $[K : C (x)] = 4$ であり、 $K / C (x)$ はガロア群が $Z /2 Z \times Z /2 Z$ のガロア拡大である。

$K$ を有理型関数体にもつコンパクトリーマン面を $X$ とし、 $x$ が定める次数 $4$ の正則写像 $x : X \to P^{1}$ を考える。 $X$ の種数を求めよ。

この問題で使うもの

リーマン・フルヴィッツの公式（説明と入口の問題）
正則写像の次数と分岐指数（説明と入口の問題）
$y^{n} = f (x)$ 型曲線の分岐と種数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（63 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ガロア被覆なので、各分岐点の上の点の分岐指数はそろっている。どの点の上で分岐するかを、 $y$ と $w$ の定義式の零点・極の位数の偶奇から調べ、リーマン・フルヴィッツの公式を使う。

ヒント 2

$\infty$ での分岐は多項式の次数の偶奇で判定する。 $(Z /2 Z)^{2}$ の惰性群は巡回群なので、分岐指数は高々 $2$ である。

ヒント 3

分岐点は $0, \pm 1, \pm i, e^{\pm π i /3}, \infty$ の $8$ 点で、各点の上に分岐指数 $2$ の点が $2$ 個ある。

答えと解説

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解説を読む

$G = Gal (K / C (x)) ≅ (Z /2 Z)^{2}$ とする。 $x : X \to P^{1}$ はガロア被覆なので、点 $P \in P^{1}$ の上にある点の分岐指数はすべて等しく、それは $P$ の惰性群の位数 $e_{P}$ に等しい。惰性群は巡回群なので $e_{P} \in {1, 2}$ である。

分岐の判定. $P$ での惰性群が自明でないことは、3 つの中間体
$C (x, y) (y^{2} = x^{5} - x), C (x, w) (w^{2} = x^{3} + 1), C (x, v) (v = \frac{y w}{x + 1}, v^{2} = \frac{( x ^{5} - x ) ( x ^{3} + 1 )}{( x + 1 ) ^{2}})$
のどれかが $P$ で分岐することと同値である。2 次拡大 $C (x) (h)$ は、 $h$ の位数が奇数の点で分岐し、偶数の点で分岐しない（ $\infty$ では $- de g h$ の偶奇で判定する）。

$x^{5} - x = x (x - 1) (x + 1) (x - i) (x + i)$ ： $0, 1, - 1, i, - i$ で位数 $1$ 、 $\infty$ で位数 $- 5$ （奇数）。
$x^{3} + 1 = (x + 1) (x - e^{π i /3}) (x - e^{- π i /3})$ ： $- 1, e^{\pm π i /3}$ で位数 $1$ 、 $\infty$ で位数 $- 3$ （奇数）。

よって $P^{1}$ の分岐点は
$0, 1, - 1, i, - i, e^{π i /3}, e^{- π i /3}, \infty$
の $8$ 点で、それぞれ $e_{P} = 2$ である（ $- 1$ と $\infty$ では $y$ と $w$ の両方が分岐するが、惰性群は巡回群なので位数は $2$ ）。各分岐点の上には $4/2 = 2$ 点があり、それぞれ分岐指数 $2$ をもつ。

リーマン・フルヴィッツの公式.
$2 g (X) - 2 = 4 (2 \cdot 0 - 2) + Q \in X \sum (e_{Q} - 1) = - 8 + 8 \cdot 2 \cdot (2 - 1) = 8.$
よって $g (X) = 5$ 。

検算. $(Z /2 Z)^{2}$ 被覆では $g (X) = g_{1} + g_{2} + g_{3}$ （3 つの中間曲線の種数の和、基底の種数 $0$ ）が成り立つ。 $y^{2} = x^{5} - x$ は分岐点 $6$ 個で種数 $2$ 、 $w^{2} = x^{3} + 1$ は分岐点 $4$ 個で種数 $1$ 、 $v^{2} = x (x - 1) (x^{2} + 1) (x^{2} - x + 1)$ （ $6$ 次で根は相異なる）は分岐点 $6$ 個で種数 $2$ 。和は $2 + 1 + 2 = 5$ で一致する。

別解

$K / C (x)$ は $(Z /2)^{2}$ 拡大で、中間体は $C (x, y)$ , $C (x, w)$ , $C (x, y w)$ 。各 $P \in P^{1}$ の惰性群は、その点で分岐する中間二次拡大の個数から決まる。

$y^{2} = x^{5} - x = x (x - 1) (x + 1) (x - i) (x + i)$ : 零点 $0, 1, - 1, i, - i$ は単根、次数 5 は奇数なので $\infty$ でも分岐。分岐点は $0, \pm 1, \pm i, \infty$ の 6 点。
$w^{2} = x^{3} + 1$ : 零点 $- 1, e^{\pm iπ /3}$ は単根、次数 3 は奇数なので $\infty$ でも分岐。分岐点は $- 1, e^{\pm iπ /3}, \infty$ の 4 点。
$(y w)^{2} = (x^{5} - x) (x^{3} + 1)$ : $x = - 1$ は重根（2 重）になるので分岐しない。単根は $0, 1, i, - i, e^{\pm iπ /3}$ の 6 点、次数 8 は偶数で $\infty$ では分岐しない。分岐点は 6 点。

各点の惰性群の位数:
- $0, 1, i, - i$ : $y$ と $y w$ が分岐、 $w$ は不分岐 → 位数 2（4 点）
- $e^{\pm iπ /3}$ : $w$ と $y w$ が分岐、 $y$ は不分岐 → 位数 2（2 点）
- $- 1$ : $y$ と $w$ が分岐、 $y w$ は不分岐 → 位数 2（1 点）
- $\infty$ : $y$ と $w$ が分岐、 $y w$ は不分岐 → 位数 2（1 点）

よって分岐する点は計 8 個で、いずれも惰性群の位数 2。各点の上には $4/2 = 2$ 個の点があり、 $e = 2$ なので、各点の寄与は $2 \cdot (2 - 1) = 2$ 、総分岐度は $16$ 。

リーマン・フルヴィッツの公式より $2 g - 2 = 4 (0 - 2) + 16 = 8$ なので $g = 5$ 。

検算: 3 つの二次中間体の種数は、分岐点が 6, 4, 6 個なので $2, 1, 2$ 。 $(Z /2)^{2}$ 拡大の種数は中間体の種数の和 $g (K) = g_{1} + g_{2} + g_{3} = 2 + 1 + 2 = 5$ となり一致する。

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