複素解析・リーマン面の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学複素解析・リーマン面

複素射影平面 $P^{2}$ の斉次座標を $[x : y : z]$ とし、射影曲線
$X : x^{4} + y^{4} = z^{4}$
を考える。 $X$ は非特異であり、コンパクトリーマン面とみなす。点 $P = [1 : 0 : 1] \in X$ をとる。

$X$ 上の因子 $D$ に対して
$L (D) = {f は X 上の有理型関数 ∣ f = 0 または (f) + D \geq 0}, ℓ (D) = dim_{C} L (D)$
と定める。正の整数 $n$ に対して $ℓ (n P)$ を考えるとき、組
$(ℓ (P), ℓ (2 P), ℓ (3 P), ℓ (4 P), ℓ (5 P), ℓ (6 P))$
をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

平面曲線の特異点と重複度（説明と入口の問題）
平面曲線の種数公式（説明と入口の問題）
リーマン・ロッホの定理（説明と入口の問題）
因子と L(D)（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（97 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$X$ は非特異な平面 4 次曲線なので種数 3 で、標準因子は直線による切断と線形同値です。リーマン・ロッホの定理 $ℓ (D) - ℓ (K - D) = de g D - g + 1$ の $ℓ (K - D)$ を「条件を満たす直線の空間」として数えましょう。

ヒント 2

$P = [1 : 0 : 1]$ での接線 $x = z$ を代入すると $y^{4} = 0$ となり、接線は $P$ で重複度 4 で交わります。したがって $K \sim 4 P$ です。

ヒント 3

$ℓ (K - n P)$ は、 $n = 1$ では $P$ を通る直線で次元 2、 $n = 2, 3$ では接線だけで次元 1、 $n = 4$ では $K - 4 P \sim 0$ より 1、 $n \geq 5$ では次数が負なので 0 です。これをリーマン・ロッホに代入しましょう。

答えと解説

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(1, 1, 2, 3, 3, 4)

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解説を読む

種数と標準因子. $F = x^{4} + y^{4} - z^{4}$ の偏導関数 $4 x^{3}, 4 y^{3}, - 4 z^{3}$ が同時に 0 になるのは $x = y = z = 0$ のみなので $X$ は非特異な 4 次平面曲線であり、種数は
$g = \frac{( 4 - 1 ) ( 4 - 2 )}{2} = 3.$
次数 $d$ の非特異平面曲線では随伴公式より $K_{X} \sim (d - 3) H$ （ $H$ は直線による切断）であり、 $d = 4$ では $K_{X} \sim H$ である。さらに正則 1 形式の空間 $H^{0} (X, K_{X})$ は 1 次形式 $a x + b y + cz$ の制限と同一視され（ $dim = 3 = g$ ）、標準因子は直線との交わり（重複度込み）全体と一致する。したがって因子 $E \geq 0$ に対して
$ℓ (K - E) = dim {a x + b y + cz ∣ 直線 a x + b y + cz = 0 が X と E 以上の重複度で交わる}$
（0 の 1 次形式も含めた線形空間の次元）である。

点 $P$ での接線. $P = [1 : 0 : 1]$ における勾配は $(4, 0, - 4)$ なので接線は $x - z = 0$ 。 $x = z$ を代入すると $y^{4} = 0$ となり、接線は $P$ で $X$ と重複度 $4$ で交わる（超接点）。よって $K \sim 4 P$ である。

リーマン・ロッホの定理. $ℓ (D) - ℓ (K - D) = de g D - g + 1 = de g D - 2$ を各 $n$ に用いる。

$n = 1$ : $ℓ (K - P)$ は $P$ を通る直線の 1 次形式の空間で、条件は 1 次の線形条件 1 つなので次元 $2$ 。よって $ℓ (P) = 1 - 2 + 2 = 1$ 。
$n = 2$ : $ℓ (K - 2 P)$ は $P$ で重複度 $2$ 以上で交わる直線、すなわち接線 $x - z = 0$ だけなので次元 $1$ 。よって $ℓ (2 P) = 2 - 2 + 1 = 1$ 。
$n = 3$ : $P$ で重複度 $3$ 以上で交わる直線も接線だけ（重複度 4）なので $ℓ (K - 3 P) = 1$ 。よって $ℓ (3 P) = 3 - 2 + 1 = 2$ 。実際、 $P$ を通る直線と接線の比 $\frac{y}{x - z}$ は $L (3 P)$ の定数でない元である。
$n = 4$ : $K - 4 P \sim 0$ より $ℓ (K - 4 P) = 1$ 。よって $ℓ (4 P) = 4 - 2 + 1 = 3$ 。
$n = 5$ : $de g (K - 5 P) = - 1 < 0$ より $ℓ (K - 5 P) = 0$ 。よって $ℓ (5 P) = 5 - 2 = 3$ 。
$n = 6$ : 同様に $ℓ (K - 6 P) = 0$ より $ℓ (6 P) = 6 - 2 = 4$ 。

（整合性: $ℓ (2 P) = 1$ は、非特異平面 4 次曲線が超楕円的でないことと一致する。 $P$ の Weierstrass ギャップは ${1, 2, 5}$ で、通常点のギャップ ${1, 2, 3}$ と異なり $P$ は Weierstrass 点である。）

したがって求める組は $(1, 1, 2, 3, 3, 4)$ である。

別解

$X$ は非特異な平面 4 次曲線なので種数 $g = (4 - 1) (4 - 2) /2 = 3$ 。標準因子 $K$ は直線による切断（超平面切断） $H$ の因子で、次数 $2 g - 2 = 4$ 、 $ℓ (K) = 3$ 。

点 $P = [1 : 0 : 1]$ での接線を求める。 $F = x^{4} + y^{4} - z^{4}$ の勾配は $(4 x^{3}, 4 y^{3}, - 4 z^{3})$ で、 $P$ では $(4, 0, - 4)$ 。接線は $x - z = 0$ 。これを $X$ に代入すると $y^{4} = 0$ なので、接線は $P$ で重複度 4 で交わる（ $P$ は超変曲点）。よって $4 P \sim H \sim K$ 。

リーマン・ロッホの定理 $ℓ (D) = de g D - g + 1 + ℓ (K - D)$ と $K \sim 4 P$ より $ℓ (K - n P) = ℓ ((4 - n) P)$ 。
- $ℓ (P) = 1$ （ $g \geq 1$ なので極が 1 点で位数 1 の関数は定数のみ）。
- $ℓ (2 P)$ : 平面 4 次曲線は超楕円曲線ではない（非超楕円）ので $ℓ (2 P) = 1$ 。RR でも $2 - 2 + ℓ (2 P)$ から $ℓ (2 P) = ℓ (2 P)$ となって決まらないので上の議論による。
- $ℓ (3 P) = 3 - 2 + ℓ (P) = 1 + 1 = 2$ 。
- $ℓ (4 P) = 4 - 2 + ℓ (0) = 2 + 1 = 3$ （ $= ℓ (K)$ と一致）。
- $ℓ (5 P)$ : $de g = 5 > 2 g - 2 = 4$ なので非特殊で $5 - 3 + 1 = 3$ 。
- $ℓ (6 P) = 6 - 3 + 1 = 4$ 。

検算: ワイエルシュトラスの非ギャップは $0, 3, 4, 6, 7, \dots$ 、ギャップは $1, 2, 5$ （ちょうど $g = 3$ 個）で、 $ℓ (n P)$ は $n$ 以下の非ギャップの個数。 $n = 1..6$ で $1, 1, 2, 3, 3, 4$ となり一致する。具体的にも、関数 $y / (x - z)$ は $P$ で位数 1 の極をもたず、 $x - z$ の零点位数 4 から $z / (x - z)$ など極位数 4、 $y / (x - z)$ のような極位数 3 の関数が存在する。

答え: $(1, 1, 2, 3, 3, 4)$ 。

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