複素解析・リーマン面の問題

基本的なデータ. 次数 $d$ の非特異平面曲線の種数は $g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}$ なので、$d=5$ より $g=6$。また、直線との交わりで定まる因子を $H$ とすると、標準因子は $K\sim (d-3)H=2H$ である（添加公式）。

$D$ を書き直す. 直線 $Z=0$ と $C$ の交わりは $X^5+Y^5=0$, すなわち $Y=-{\omega }^{k}X$（$k=0,\dots ,4$）の 5 点 $P_0,\dots ,P_4$ で、どれも重複度 $1$ である。よって直線 $Z=0$ が定める因子は $H_0=P_0+P_1+P_2+P_3+P_4\sim H$ であり、$$D=H_0+P_0+P_1+P_2,\mathrm{deg}D=8.$$

リーマン・ロッホの定理. $$\ell (D)-\ell (K-D)=\mathrm{deg}D-g+1=8-6+1=3.$$ ここで $K-D\sim 2H_0-H_0-P_0-P_1-P_2=H_0-P_0-P_1-P_2$ である。

$\ell (H_0-P_0-P_1-P_2)$ の計算. 非特異平面曲線では $L(H_0)=\left\{\frac{aX+bY+cZ}{Z}|a,b,c\in \mathbb{C}\right\}$ であり、$\ell (H_0)=3$。$f=\frac{\ell }{Z}$（$\ell$ は一次式, $\ell \ne 0$）について $(f)+H_0$ は直線 $\ell =0$ と $C$ の交わりの因子である。したがって $f\in L(H_0-P_0-P_1-P_2)$ となるのは、直線 $\ell =0$ が $P_0,P_1,P_2$ をすべて通るときである。$P_0\ne P_1$ を通る直線はただ一つで、それは $Z=0$ であり、これは $P_2$ も通る。よって $L(H_0-P_0-P_1-P_2)$ は定数関数全体で、$$\ell (K-D)=\ell (H_0-P_0-P_1-P_2)=1.$$

結論. $\ell (D)=3+1=4$。

（参考: $P_0,P_1,P_2$ が同一直線上にない 3 点なら $\ell (K-D)=0$ となり $\ell (D)=3$ になる。3 点が共線であることが効いている。）

$C$ は非特異平面五次曲線なので種数は $g=\frac{(5-1)(5-2)}{2}=6$。直線 $Z=0$ との交点は $X^5+Y^5=0$ より $[1:-{\omega }^k:0]$（$k=0,\dots ,4$）の相異なる 5 点で、各点は横断的に交わる。よって超平面（直線）因子類 $H$ について $H\sim P_0+P_1+P_2+P_3+P_4$（$Z$ の因子）。

$\mathrm{deg}D=2+2+2+1+1=8$。リーマン・ロッホ: $\ell (D)=\mathrm{deg}D-g+1+\ell (K-D)=3+\ell (K-D)$。

平面曲線の随伴公式より $K\sim (5-3)H=2H$（次数 10 = $2g-2$ で整合）。$D=H+P_0+P_1+P_2$ なので $K-D\sim H-P_0-P_1-P_2$（次数 2）。

$L(H)$ は線形式 $\{aX+bY+cZ\}$ を $Z$ で割った関数と同一視できる（次数 5 の平面曲線では $H^0({\mathcal{O}}_C(1))=H^0({\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}(1))$ で次元 3）。$L(H-P_0-P_1-P_2)$ は、$P_0,P_1,P_2$ で消える線形式のなす空間。この 3 点は直線 $Z=0$ 上にあり共線で、これらを通る直線は $Z=0$ ただ 1 本。よって次元は $1$、$\ell (K-D)=1$。

ゆえに $\ell (D)=3+1=4$。

検算: $D\sim H+(P_0+P_1+P_2)=2H-(P_3+P_4)$ とも書ける。$L(2H)$（次元 $\ell (2H)=10-6+1+\ell (-H)\dots$ ではなく、$\ell (2H)=h^0({\mathcal{O}}_C(2))=6$）から、$P_3,P_4$ で消える二次式の空間は 6 次元の空間における 2 つの独立な条件で 4 次元。一致する。