複素解析・リーマン面の問題

$C$ の種数. $C$ は次数 $d=4$ の非特異平面曲線なので、種数公式より
$$g(C)=\frac{(d-1)(d-2)}{2}=\frac{3\cdot 2}{2}=3$$
である。

固定点の決定. $H=\{\mathrm{id},\tau ,{\tau }^2,{\tau }^3\}$ で、
$$\tau =\mathrm{diag}(i,-1,1),{\tau }^2=\mathrm{diag}(-1,1,1),{\tau }^3=\mathrm{diag}(-i,-1,1)$$
と ${\mathbb{P}}^2$ の射影変換として表せる。射影変換 $\mathrm{diag}(a,b,c)$ の ${\mathbb{P}}^2$ 上の固定点は、固有ベクトルが定める点である。

- $\tau ,{\tau }^3$: 固有値 $i,-1,1$（または $-i,-1,1$）が相異なるので、固定点は $[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1]$ の 3 点だけである。これらはどれも $X^4+Y^4+Z^4=0$ を満たさない（値は $1$）ので、$C$ 上に固定点はない。
- ${\tau }^2$: 固有値 $-1$ の固有空間は点 $[1:0:0]$、固有値 $1$ の固有空間は直線 $X=0$ である。$[1:0:0]\notin C$ であり、$C\cap \{X=0\}$ は $Y^4+Z^4=0$ より
$$P_{\zeta }=[0:\zeta :1]({\zeta }^4=-1)$$
の $4$ 点である。

よって、$H$ の単位元以外の元で固定される $C$ の点は $P_{\zeta }$ の $4$ 点だけで、その固定部分群はどれも $\{\mathrm{id},{\tau }^2\}$（位数 $2$）である。$\tau (P_{\zeta })=[0:-\zeta :1]=P_{-\zeta }\ne P_{\zeta }$ なので、確かに $\tau$ では固定されない。

分岐指数. 商写像 $\pi :C\to C/H$ の点 $P$ での分岐指数 $e_P$ は、$P$ の固定部分群の位数に等しい。したがって $P_{\zeta }$ の $4$ 点で $e_P=2$、それ以外の点で $e_P=1$ である。

リーマン・フルヴィッツの公式. 次数 $n=4$ の正則写像 $\pi$ について
$$2g(C)-2=n(2g(C/H)-2)+\sum _{P\in C}(e_P-1)$$
が成り立つ。$g^{\prime }=g(C/H)$ とおくと
$$2\cdot 3-2=4(2g^{\prime }-2)+4\cdot (2-1)$$
$$4=8g^{\prime }-8+4$$
より $8g^{\prime }=8$、すなわち $g^{\prime }=1$ である。

したがって $C/H$ の種数は $1$ である。

$C$ は非特異な平面四次曲線なので種数は $g(C)=\frac{(4-1)(4-2)}{2}=3$。$H=⟨\tau ⟩$ の作用をリーマン・フルヴィッツの公式で調べる。

$\tau$ は $\mathrm{diag}(i,-1,1)$ で与えられ、${\mathbb{P}}^2$ での固定点は固有ベクトル（固有値が相異なるので 3 点）$[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1]$ のみ。どれも $X^4+Y^4+Z^4=1\ne 0$ なので $C$ 上にない。よって $\tau ,{\tau }^3$ は $C$ 上に固定点をもたない。

${\tau }^2([X:Y:Z])=[-X:Y:Z]$。固定点は $[1:0:0]$ と直線 $X=0$ 上の点。$[1:0:0]\notin C$ で、$X=0$ 上では $Y^4+Z^4=0$ より相異なる 4 点が $C$ 上にある。したがってこの 4 点が ${\tau }^2$ の固定点で、それぞれ安定化群が位数 2 の群 $⟨{\tau }^2⟩$ になる（$\tau$ では固定されない）。これらの点では分岐指数 $e=2$。

（この 4 点は $\tau$ により $[0:y:1]\mapsto [0:-y:1]$ と 2 点ずつ入れ替わるので、$C/H$ 上の分岐点は 2 点で、各点の上に $C$ の 2 点がある。）

リーマン・フルヴィッツの公式（次数 4）:
$2\cdot 3-2=4(2g^{\prime }-2)+\sum (e_P-1)=4(2g^{\prime }-2)+4$。
よって $4=8g^{\prime }-8+4$、$g^{\prime }=1$。

検算: オイラー標数で、$\chi (C)=-4$。$\chi (C)=4\chi (C/H)-(\text{ramified pts count 補正})$ : $C$ 上で非固定点の軌道は大きさ 4、固定点側の軌道は大きさ 2 が 2 つ。$\chi (C)=4(\chi (C/H)-2)+2\cdot 2=4\chi (C/H)-4$。$-4=4\chi (C/H)-4$ より $\chi (C/H)=0$、$g^{\prime }=1$。一致。