平面曲線の特異点と重複度

$F = F_{X} = F_{Y} = F_{Z} = 0$ （アフィンでは $f = f_{x} = f_{y} = 0$ ）を解いて特異点を求められる。さらに点を原点に移し、最低次の斉次部分の次数として重複度 $m_{P}$ を、その因数分解として接線（接錐）を求められる

前提

射影平面曲線と斉次化（大学院数学代数幾何）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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説明

平面曲線の上で、曲線が滑らかな 1 本の枝になっていない点（自分自身と交わっている結節点や、尖っている尖点など）を特異点といいます。式の上では、曲線 $f = 0$ 上で $f_{x} = f_{y} = 0$ となる点、すなわち後で定める重複度が 2 以上の点として捉えます。この技能では、偏微分を使って特異点を探し出し、その点で曲線が何重に重なっているか（重複度 $m_{P}$ ）と、どの方向に枝が伸びているか（接線・接錐）を求めます。曲線の種数の計算や交点の数え上げ、曲線の分類など、代数幾何の多くの計算の出発点になります。以下、係数体は複素数体 $C$ とします。

なぜそうしてよいのか

点 $P = (a, b)$ の近くで $f$ を調べるため、 $x = a + u, y = b + v$ と置いて $f$ を $u, v$ の多項式に書き直し、次数ごとにまとめます: $f (a + u, b + v) = f_{0} + f_{1} (u, v) + f_{2} (u, v) + \dots$ （ $f_{k}$ は $k$ 次斉次式）。 $P$ が曲線上にあることは $f_{0} = f (a, b) = 0$ 、1 次の部分は偏導関数を使って $f_{1} = f_{x} (a, b) u + f_{y} (a, b) v$ と表されます（ $u, v$ で 1 回偏微分して $u = v = 0$ とおくと、1 次の項の係数だけが残るため）。 $f_{0} = 0$ のとき、 $0$ でない最低次の部分 $f_{m}$ の次数 $m$ を $P$ の重複度 $m_{P}$ と定めます。 $m_{P} = 1$ なら $f_{1} = 0$ がただ 1 本の接線で、 $P$ は非特異点です。 $m_{P} \geq 2$ 、すなわち $f = f_{x} = f_{y} = 0$ となる点を特異点と定めます。

接線の意味は次のとおりです。 $P$ を通る直線 $u = α s, v = β s$ を代入すると $f = s^{m} f_{m} (α, β) + s^{m + 1} (\dots)$ となり、ふつう直線と曲線は $P$ で $m$ 重に交わりますが、 $f_{m} (α, β) = 0$ となる方向だけはそれより深く交わります。2 変数の $m$ 次斉次式 $f_{m} (u, v)$ は、 $v$ を $u$ の何倍とみて 1 変数の方程式の解を考えると、 $C$ 上で 1 次式の積 $\prod (β_{i} u - α_{i} v)$ に分解します。この 1 次因子が表す直線（重複を込めて $m$ 本）が $P$ での接線で、まとめて接錐と呼びます。たとえば結節点 $v^{2} - u^{2} - u^{3} = 0$ では $f_{2} = (v - u) (v + u)$ で異なる 2 本、尖点 $v^{2} - u^{3} = 0$ では $f_{2} = v^{2}$ で同じ直線 $v = 0$ が 2 重に現れます（接線としては 1 本）。

射影曲線 $F (X, Y, Z) = 0$ （ $d$ 次斉次）では、 $Z = 1$ とおくと $f (x, y) = F (x, y, 1)$ 、 $F_{X} (x, y, 1) = f_{x}, F_{Y} (x, y, 1) = f_{y}$ です。また斉次式の各項 $X^{i} Y^{j} Z^{k}$ （ $i + j + k = d$ ）に $X \partial_{X} + Y \partial_{Y} + Z \partial_{Z}$ を施すと $d$ 倍になるので、 $X F_{X} + Y F_{Y} + Z F_{Z} = d F$ （オイラーの等式）が成り立ちます。 $Z = 1$ とおくと $F_{Z} (x, y, 1) = df - x f_{x} - y f_{y}$ なので、アフィン部分の点では $F_{X} = F_{Y} = F_{Z} = 0 ⟺ f = f_{x} = f_{y} = 0$ です（ $f_{x} = f_{y} = 0$ のもとで $F_{Z} = df$ 、 $d \neq = 0$ ）。さらにオイラーの等式から $C$ 上では $F_{X} = F_{Y} = F_{Z} = 0$ ならば $F = 0$ が従うので、無限遠点も含めて $F_{X} = F_{Y} = F_{Z} = 0$ を解けば特異点がすべて求まります。

手順

特異点の候補を求める: 連立方程式 $f_{x} = 0, f_{y} = 0$ を解く（射影曲線なら $F_{X} = F_{Y} = F_{Z} = 0$ ）
候補のうち $f = 0$ を満たすものだけを残す（これが特異点）。射影閉包を考えるときは無限遠点 $(X : Y : 0)$ でも偏導関数を調べる
特異点 $P = (a, b)$ を原点に移す: $x = a + u, y = b + v$ を代入して $u, v$ の多項式に展開する
$0$ でない最低次の斉次部分 $f_{m} (u, v)$ を取り出し、その次数 $m$ を重複度 $m_{P}$ とする
$f_{m} (u, v)$ を $C$ 上で 1 次式の積に分解し、各因子 $= 0$ を $u = x - a, v = y - b$ に戻して接線を得る

例題

$C$ 上のアフィン平面曲線 $C : f (x, y) = (y - 1)^{2} - x^{3} - 3 x^{2} = 0$ の特異点はただ 1 つである。その特異点における $C$ の接線の傾きをすべて求めよ。

例題の解答

手順 1（候補）: $f_{x} = - 3 x^{2} - 6 x = - 3 x (x + 2)$ 、 $f_{y} = 2 (y - 1)$ 。 $f_{x} = f_{y} = 0$ より $(x, y) = (0, 1)$ または $(- 2, 1)$ 。

手順 2（ $f = 0$ の確認）: $f (0, 1) = 0 - 0 - 0 = 0$ 、 $f (- 2, 1) = 0 - (- 8) - 12 = - 4 \neq = 0$ 。よって特異点は $P = (0, 1)$ だけ。

手順 3（原点へ移す）: $x = u, y = 1 + v$ とおくと
$f = v^{2} - 3 u^{2} - u^{3} .$

手順 4（重複度）: 最低次の斉次部分は $f_{2} = v^{2} - 3 u^{2}$ で、 $m_{P} = 2$ 。

手順 5（接線）: $v^{2} - 3 u^{2} = (v - 3 u) (v + 3 u)$ より、接線は $y - 1 = 3 x$ と $y - 1 = - 3 x$ の 2 本（ $P$ は 2 本の異なる接線をもつ結節点）。傾きは $3, - 3$ 。

答え: ${3, - 3}$

よくある誤り

$f_{x} = f_{y} = 0$ を満たす点をすべて特異点としてしまう誤り。曲線上にない点も混ざるので、正しくは $f = 0$ も確かめる。例題では $(- 2, 1)$ は $f_{x} = f_{y} = 0$ を満たすが $f (- 2, 1) = - 4 \neq = 0$ なので特異点ではない
原点に移さずに、もとの $x, y$ のまま最低次の部分を取ってしまう誤り。例題の $f = (y - 1)^{2} - x^{3} - 3 x^{2}$ を $x, y$ で展開すると最低次は定数項 $1$ で意味をもたない。正しくは $x = a + u, y = b + v$ と置き換えてから最低次 $f_{m} (u, v)$ を取る
最低次ではなく最高次の斉次部分を接錐としてしまう誤り。 $v^{2} - 3 u^{2} - u^{3}$ の最高次 $- u^{3}$ は無限遠点の方向を表すもので、正しくは最低次 $v^{2} - 3 u^{2}$ から接線を読む
アフィン部分だけを調べて無限遠点の特異点を見落とす誤り。射影閉包で考えるときは、正しくは $Z = 0$ の点でも $F_{X} = F_{Y} = F_{Z} = 0$ を調べる（例題の閉包 $(Y - Z)^{2} Z - X^{3} - 3 X^{2} Z$ の無限遠点 $(0 : 1 : 0)$ では $F_{Z} = 1 \neq = 0$ なので非特異）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
複素アフィン平面 $C^{2}$ （座標 $(x, y)$ ）内の曲線
$C : f (x, y) = y^{2} - x^{3} + 3 x - 2 = 0$
を考える。 $C$ は $C^{2}$ 内にちょうど $1$ つの特異点 $P$ をもつ。 $P$ における $C$ の接線（接錐を $1$ 次式の積に分解したときの各直線）はすべて $y = k (x - a) + b$ の形に書ける（ $P = (a, b)$ ）。このときの傾き $k$ の値をすべて求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ワイエルシュトラス方程式の非特異性（大学院数学代数幾何）
局所交点数（大学院数学代数幾何）
平面曲線の種数公式（大学院数学代数幾何）