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代数幾何の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学代数幾何

複素アフィン平面 $C^{2}$ （座標 $(x, y)$ ）内の曲線
$C : f (x, y) = y^{2} - x^{3} + 3 x - 2 = 0$
を考える。 $C$ は $C^{2}$ 内にちょうど $1$ つの特異点 $P$ をもつ。 $P$ における $C$ の接線（接錐を $1$ 次式の積に分解したときの各直線）はすべて $y = k (x - a) + b$ の形に書ける（ $P = (a, b)$ ）。このときの傾き $k$ の値をすべて求めよ。

この問題で使うもの

平面曲線の特異点と重複度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「平面曲線の特異点と重複度」を使う。まず $f = f_{x} = f_{y} = 0$ を解いて特異点 $P$ を求め、次に $P$ を原点に移して最低次の斉次部分を見る。

ヒント 2

$f_{x} = - 3 x^{2} + 3, f_{y} = 2 y$ 。候補は $(\pm 1, 0)$ で、このうち $f = 0$ をみたすものが $P$ 。 $P$ を原点に移すには $u = x - a$ とおく。

ヒント 3

$P = (1, 0)$ で、 $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ より $u = x - 1$ とおくと $f = y^{2} - 3 u^{2} - u^{3}$ 。最低次の部分 $y^{2} - 3 u^{2}$ を $1$ 次式の積に分解する。

答えと解説

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{3, - 3}

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解説を読む

手順 1: 特異点を求める。 特異点は $f = f_{x} = f_{y} = 0$ の解である。
$f_{x} = - 3 x^{2} + 3, f_{y} = 2 y .$
$f_{y} = 0$ より $y = 0$ 。 $f_{x} = 0$ より $x^{2} = 1$ 、すなわち $x = 1$ または $x = - 1$ 。
- $(1, 0)$ : $f (1, 0) = 0 - 1 + 3 - 2 = 0$ 。
- $(- 1, 0)$ : $f (- 1, 0) = 0 + 1 - 3 - 2 = - 4 \neq = 0$ 。
よって特異点は $P = (1, 0)$ のみである。

手順 2: $P$ を原点に移す。 $x^{3} - 3 x + 2$ は $x = 1$ を根にもち、因数定理より $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ 。 $u = x - 1$ とおくと $x + 2 = u + 3$ なので
$f = y^{2} - u^{2} (u + 3) = y^{2} - 3 u^{2} - u^{3} .$

手順 3: 最低次の斉次部分を見る。 $u, y$ について、 $2$ 次の部分は $y^{2} - 3 u^{2}$ 、 $3$ 次の部分は $- u^{3}$ で、 $0$ 次・ $1$ 次の部分はない。よって重複度は $m_{P} = 2$ （二重点）で、接錐は
$y^{2} - 3 u^{2} = (y - 3 u) (y + 3 u) = 0.$

手順 4: 接線を読む。 $u = x - 1$ に戻すと、接線は $y = 3 (x - 1)$ と $y = - 3 (x - 1)$ の $2$ 本である（ $2$ 本が異なるので $P$ は通常二重点）。

よって傾き $k$ は $3, - 3$ 。

別解

$f_{x} = - 3 x^{2} + 3$ , $f_{y} = 2 y$ 。特異点は $f = f_{x} = f_{y} = 0$ から、 $y = 0$ 、 $x = \pm 1$ 。 $x = 1$ のとき $f (1, 0) = 0 - 1 + 3 - 2 = 0$ 、 $x = - 1$ のとき $f (- 1, 0) = 1 - 3 - 2 = - 4 \neq = 0$ 。よって特異点は $P = (1, 0)$ のみ（ $a = 1, b = 0$ ）。

$x = 1 + u$ とおくと $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2) = u^{2} (u + 3)$ なので
$f = y^{2} - 3 u^{2} - u^{3} .$
最低次の項（接錐）は $y^{2} - 3 u^{2} = (y - 3 u) (y + 3 u)$ 。よって接線は $y = \pm 3 (x - 1)$ で、傾きは $k = \pm 3$ 。

検算: $y = 3 u$ を $f$ に代入すると $3 u^{2} - 3 u^{2} - u^{3} = - u^{3}$ となり、 $u = 0$ で 3 位の零点。接線上で重複度 2 を超えるので接線として整合する。

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