代数幾何の問題

方針. 局所交点数の性質
- $I_P(f,g)=I_P(f+hg,g)$（$h$ は任意の多項式）
- 積への加法性 $I_P(fh,g)=I_P(f,g)+I_P(h,g)$
- $f(P)\ne 0$（$f$ が ${\mathcal{O}}_P$ の単元）なら $I_P(f,g)=0$
- $x,y$ が原点で横断的に交わる直線なら $I_P(x,y)=1$

を使って簡約する。

0. 重複度からの見積もり. $f=y^2-x^3$ の最低次部分は $y^2$ なので $m_P(f)=2$、接線は $y=0$（重複）。$g=y-x^2$ の最低次部分は $y$ なので $m_P(g)=1$、接線は $y=0$。共通接線 $y=0$ があるので $I_P(f,g)>m_P(f)m_P(g)=2$ であり、実際の値は計算して求める。

1. $y$ を消去する. $y^2-x^4=(y+x^2)(y-x^2)=(y+x^2)g$ に注意して、$f$ から $(y+x^2)g$ を引くと
$$f-(y+x^2)g=(y^2-x^3)-(y^2-x^4)=x^4-x^3=x^3(x-1).$$
よって
$$I_P(f,g)=I_P(x^3(x-1),y-x^2).$$

2. 積に分ける. 加法性より
$$I_P(x^3(x-1),g)=3I_P(x,y-x^2)+I_P(x-1,y-x^2).$$
$x-1$ は原点で値 $-1\ne 0$ をとるので ${\mathcal{O}}_P$ の単元であり、$I_P(x-1,y-x^2)=0$。

3. 残りを計算する. $y-x^2=y+(-x)\cdot x$ なので
$$I_P(x,y-x^2)=I_P(x,y)=1.$$
（$x=0$ と $y=0$ は原点で横断的に交わる直線。）

4. まとめ.
$$I_P(f,g)=3\cdot 1+0=3.$$

（直接の確認: ${\mathcal{O}}_P/(f,g)$ では $y=x^2$ と置けて ${\mathcal{O}}_P/(f,g)\cong \mathbb{C}[x{]}_{(x)}/(x^3(x-1))=\mathbb{C}[x{]}_{(x)}/(x^3)$ となり、基底 $1,x,x^2$ をもつので次元は $3$。）

よって答えは $3$ である。

$g=y-x^2$ より $y\equiv x^2$ となるので、${\mathcal{O}}_P/(f,g)\cong \mathbb{C}[x{]}_{(x)}/(f(x,x^2))$。$f(x,x^2)=x^4-x^3=x^3(x-1)$。局所化 $\mathbb{C}[x{]}_{(x)}$ では $x-1$ は単元なので、イデアルは $(x^3)$ となる。よって $\mathbb{C}[x{]}_{(x)}/(x^3)$ の基底は $1,x,x^2$ で、次元は 3。したがって $I_P(f,g)=3$。\n\n検算: $g=0$ は $y=x^2$ とパラメータ付けでき、$f$ に代入した $x^3(x-1)$ の $x=0$ での零点の位数が交点数であり 3。幾何的にも、$g$ は原点で $x$ 軸に接する滑らかな曲線で、$f$ はカスプ（接線も $x$ 軸、重複度 2）なので、交点数は $2\cdot 1$ より大きく、3 は妥当。また全体の交点数は $x^3(x-1)$ の根の個数 4 で、もう 1 点は $(1,1)$ にある。