代数幾何の問題

$F=Y^2{Z}^3-X^5+X{Z}^4$ とおく。

解法 1（種数の比較）。 既約な $d$ 次平面曲線の幾何種数 $g$ は
$$g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-\sum _{Q\in \mathrm{Sing}(C)}{\delta }_Q$$
を満たす。$d=5$ なので算術種数は $6$。

まず特異点を調べる。アフィン部分 $Z=1$ では $f=y^2-x^5+x$ で、$f_y=2y=0$, $f_x=-5x^4+1=0$ より $y=0,x^4=\frac{1}{5}$。このとき $f=-x(x^4-1)=-x\left(\frac{1}{5}-1\right)\ne 0$ なので曲線上にない。よってアフィン部分は非特異。無限遠直線 $Z=0$ 上では $X^5=0$ より $P=[0:1:0]$ のみ。したがって特異点は $P$ だけで
$$g=6-{\delta }_P.$$
一方、$C$ の正規化はアフィン曲線 $y^2=x^5-x$ の非特異完備化、すなわち $x^5-x=x(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)$（相異なる 5 根をもつ $5$ 次式）で定まる超楕円曲線で、その種数は $\lfloor \frac{5-1}{2}\rfloor =2$。（例えば $x:C\to {\mathbb{P}}^1$ は $2$ 次の被覆で、分岐点は $x=0,\pm 1,\pm i,\infty$ の $6$ 点。リーマン・フルヴィッツの公式 $2g-2=2(-2)+6$ より $g=2$。）よって
$${\delta }_P=6-2=4.$$

解法 2（局所計算）。 $Y=1$ のアフィン座標 $x=X/Y,z=Z/Y$ で、$P$ は原点、局所方程式は
$$z^3-x^5+x{z}^4=0.$$
重み $\mathrm{wt}(z)=5,\mathrm{wt}(x)=3$ をとると $z^3,x^5$ の重みは $15$、$x{z}^4$ の重みは $23>15$ なので、この特異点は $z^3=x^5$ と同じ型である。$\gcd (3,5)=1$ なので枝は 1 本で、$x=t^3,z=t^5$ とパラメータ表示される。局所環の値の半群は $⟨3,5⟩=\{0,3,5,6,8,9,10,\dots \}$ で、そこに含まれない正の整数（ギャップ）は $1,2,4,7$ の $4$ 個。${\delta }_P$ はギャップの個数に等しいので ${\delta }_P=4$。（$\frac{(3-1)(5-1)}{2}=4$ とも一致する。）

$P=[0:1:0]$ の近傍で $Y=1$ とし、アフィン座標を $x=X,z=Z$ とすると、$C:f(x,z)=z^3-x^5+x{z}^4=0$（$z^3=x^5-x{z}^4$ より）。$P$ は $(x,z)=(0,0)$ で、$f$ の最低次部分は $z^3$ なので特異点。

重みを $\mathrm{wt}(x)=3,\mathrm{wt}(z)=5$ とおくと、$z^3$ と $x^5$ はともに重み $15$、$x{z}^4$ は重み $3+20=23>15$。よって $f=(z^3-x^5)+(\text{高重みの項})$ であり、主要部 $z^3-x^5$ は互いに素な指数 $(3,5)$ の準斉次多項式で既約（非退化）。したがって $P$ における特異点は $z^3=x^5$ と位相的（解析的）に同型な型で、一枝（unibranch）である。具体的には、$x=t^3,z=t^5\cdot (\text{単数})$ の形のパラメータ表示をもち、${\mathcal{O}}_{C,P}$ の完備化の付値半群は $⟨3,5⟩=\{0,3,5,6,8,9,10,\dots \}$。

一枝の平面曲線特異点では、$\delta$ は半群のギャップ（$\mathbb{N}\setminus ⟨3,5⟩$ の個数）に等しい。ギャップは $\{1,2,4,7\}$ の 4 個。公式でも $\delta =\frac{(3-1)(5-1)}{2}=4$。

検算: ミルナー数 $\mu =(3-1)(5-1)=8$、一枝なので $\mu =2\delta -r+1=2\delta$（$r=1$）より $\delta =\mu /2=4$。
答え: ${\delta }_P=4$。