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代数幾何の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学代数幾何

複素射影平面 $P_{C}^{2}$ （斉次座標 $[X : Y : Z]$ ）内の $5$ 次曲線
$C : Y^{2} Z^{3} = X (X - Z)^{2} (X + Z) (X - 2 Z)$
を考える。 $C$ は既約である。 $C$ の幾何種数（ $C$ の正規化であるコンパクトリーマン面の種数）を求めよ。

この問題で使うもの

平面曲線の種数公式（説明と入口の問題）
平面曲線の特異点と重複度（説明と入口の問題）
射影平面曲線と斉次化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（68 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

既約な $d$ 次平面曲線の幾何種数は $\frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2} - \sum δ_{P}$ です。特異点をすべて見つけ、それぞれの $δ$ 不変量を求めましょう。

ヒント 2

アフィン部分の特異点は右辺の重根に対応します。無限遠点 $[0 : 1 : 0]$ では $Y = 1$ として局所方程式 $z^{3} = x^{5} + (高い重みの項)$ を調べます。

ヒント 3

$(1, 0)$ は通常 $2$ 重点で $δ = 1$ 、 $[0 : 1 : 0]$ は $z^{3} = x^{5}$ 型の特異点です。 $z^{3} = x^{p}$ （ $g cd (3, p) = 1$ ）型の $δ$ は $\frac{( 3 - 1 ) ( p - 1 )}{2}$ です。

答えと解説

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解説を読む

方針既約な $d$ 次射影平面曲線の幾何種数は、算術種数 $\frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2}$ から各特異点 $P$ の $δ$ 不変量 $δ_{P}$ の和を引いたもの
$g = \frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2} - P \in Sing C \sum δ_{P}$
である。 $d = 5$ なので算術種数は $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ 。

アフィン部分 $Z \neq = 0$ の特異点 $x = X / Z$ , $y = Y / Z$ とおくと $C$ は $f (x, y) = y^{2} - g (x) = 0$ , $g (x) = x (x - 1)^{2} (x + 1) (x - 2)$ 。特異点は $f = f_{x} = f_{y} = 0$ 、すなわち $y = 0$ , $g (x) = 0$ , $g^{'} (x) = 0$ を満たす点で、 $x$ は $g$ の重根である。 $g$ の重根は $x = 1$ だけなので、アフィン部分の特異点は $P_{1} = (1, 0)$ のみ。
$u = x - 1$ とおくと $g = u^{2} h (x)$ , $h (x) = x (x + 1) (x - 2)$ , $h (1) = 1 \cdot 2 \cdot (- 1) = - 2$ なので、 $P_{1}$ での $f$ の最低次の項は $y^{2} + 2 u^{2} = (y + 2 i u) (y - 2 i u)$ 。相異なる $2$ 本の接線をもつ $2$ 重点なので通常 $2$ 重点（結節点）であり、 $δ_{P_{1}} = 1$ 。

無限遠直線 $Z = 0$ 上の点 $Z = 0$ を代入すると $X^{5} = 0$ なので、 $C$ と無限遠直線の交点は $P_{\infty} = [0 : 1 : 0]$ のみ。 $Y = 1$ のアフィン座標 $(x, z) = (X / Y, Z / Y)$ では
$z^{3} = x (x - z)^{2} (x + z) (x - 2 z) .$
右辺は $x, z$ の $5$ 次斉次式で、 $x^{5}$ の係数は $1$ 。最低次の項は $z^{3}$ なので $P_{\infty}$ は $3$ 重点（特異点）である。重み $wt (x) = 3$ , $wt (z) = 5$ をつけると $z^{3}$ と $x^{5}$ の重みは $15$ 、右辺の他の項 $x^{a} z^{b}$ （ $a + b = 5$ , $b \geq 1$ ）の重みは $3 a + 5 b = 15 + 2 b > 15$ である。したがって $P_{\infty}$ の特異点は $z^{3} = x^{5}$ と同じ型（重み付き斉次部分 $z^{3} - x^{5}$ が非退化）であり、 $3$ と $5$ は互いに素なので分枝は $1$ 本。ミルナー数は $μ = (3 - 1) (5 - 1) = 8$ 、分枝数 $r = 1$ で、ミルナーの公式 $2 δ = μ + r - 1$ より $δ_{P_{\infty}} = 4$ 。

種数
$g = 6 - δ_{P_{1}} - δ_{P_{\infty}} = 6 - 1 - 4 = 1.$

検算 $w = \frac{y}{x - 1}$ とおくと $w^{2} = x (x + 1) (x - 2)$ となり、 $C$ は相異なる $3$ 根をもつ $3$ 次式で定まる楕円曲線と双有理である。よって幾何種数は $1$ で一致する。

答え: $1$

別解

アフィン座標 $x = X / Z, y = Y / Z$ で $C$ は $y^{2} = x (x - 1)^{2} (x + 1) (x - 2)$ 。 $w = y / (x - 1)$ とおくと、 $C$ の関数体 $C (x, y)$ は $C (x, w)$ に等しく（ $y = (x - 1) w$ ）、 $w$ は
$w^{2} = x (x + 1) (x - 2)$
をみたす。右辺は相異なる 3 根 $0, - 1, 2$ をもつ 3 次式なので、これは楕円曲線（種数 1）の関数体である。 $C$ は既約で、 $C$ の正規化はこの楕円曲線と双有理同値だから、幾何種数は 1。

検算: 5 次平面曲線の算術種数は $(5 - 1) (5 - 2) /2 = 6$ 。特異点は $x = 1$ の点 $(1, 0)$ における結節点（局所的に $y^{2} \approx c (x - 1)^{2}$ , $c = 1 \cdot 2 \cdot (- 1) = - 2 \neq = 0$ なので通常二重点で $δ = 1$ ）と、無限遠点 $[0 : 1 : 0]$ 。無限遠点では $Z = 1$ でなく $Y = 1$ とおくと $Z^{3} = X (X - Z)^{2} (X + Z) (X - 2 Z)$ で、局所的に $z^{3} = x \cdot (4 つの 1 次形式の積の x^{4} 次)$ 、すなわち最低次が 3 次の項 $Z^{3}$ と 5 次の項のみで、 $δ =$ （ $z^{3} = x^{5}$ 型のカスプ、 $δ = (3 - 1) (5 - 1) /2 = 4$ ）。合計 $δ = 1 + 4 = 5$ 。 $6 - 5 = 1$ となり種数 1 と一致。

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