代数幾何の問題

$F=X^2{Y}^3+Y^2{Z}^3+Z^2{X}^3$ とおく。既約な $d$ 次平面曲線の幾何種数 $g$ は、算術種数 $\frac{(d-1)(d-2)}{2}$ から各特異点 $P$ の $\delta$ 不変量 ${\delta }_P$ の和を引いたもの
$$g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-\sum _P{\delta }_P$$
で与えられる。$d=5$ なので算術種数は $\frac{4\cdot 3}{2}=6$ である。

特異点を求める。 偏微分は
$$F_X=2X{Y}^3+3X^2{Z}^2=X(2Y^3+3X{Z}^2),$$
$$F_Y=3X^2{Y}^2+2Y{Z}^3=Y(3X^{2}Y+2Z^3),$$
$$F_Z=3Y^2{Z}^2+2X^{3}Z=Z(3Y^{2}Z+2X^3).$$
オイラーの等式 $X{F}_X+Y{F}_Y+Z{F}_Z=5F$ より、特異点は $F_X=F_Y=F_Z=0$ の共通零点である。

(i) $XYZ\ne 0$ の場合。$Y=1$ と正規化すると
$$2+3X{Z}^2=0,3X^2+2Z^3=0,3Z+2X^3=0.$$
第 1 式より $X=-\frac{2}{3Z^2}$。これを第 2 式に代入すると $\frac{4}{3Z^4}+2Z^3=0$、すなわち $Z^7=-\frac{2}{3}$。第 3 式に代入すると $3Z-\frac{16}{27Z^6}=0$、すなわち $Z^7=\frac{16}{81}$。両者は矛盾するので、この場合の特異点はない。

(ii) 座標がちょうど 1 つだけ $0$ の場合。$X=0,YZ\ne 0$ なら $F_Y=2Y{Z}^3\ne 0$。$Y=0,XZ\ne 0$ なら $F_Z=2X^{3}Z\ne 0$。$Z=0,XY\ne 0$ なら $F_X=2X{Y}^3\ne 0$。よって特異点はない。

(iii) 座標が 2 つ $0$ の場合、すなわち 3 点 $[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1]$。いずれも $F=0$ を満たし、各偏微分も $0$ になるので特異点である。

特異点の型。 $[0:0:1]$ の近傍で $Z=1$ とすると、局所方程式は
$$y^2+x^3+x^2{y}^3=0.$$
重み $\mathrm{wt}(x)=2,\mathrm{wt}(y)=3$ をとると、$y^2,x^3$ の重みは $6$、$x^2{y}^3$ の重みは $13>6$ なので、この特異点は $y^2+x^3=0$ と同じ型の通常尖点（$A_2$ 型）であり、$\delta =1$。
$F$ は巡回置換 $X\to Y\to Z\to X$ で不変なので、$[1:0:0]$（局所方程式 $z^2+y^3+y^2{z}^3=0$）、$[0:1:0]$（局所方程式 $x^2+z^3+z^2{x}^3=0$）も同様に通常尖点で、$\delta =1$。

結論。 特異点は 3 つの通常尖点で、$\sum {\delta }_P=3$。したがって
$$g=6-3=3.$$
（参考: 尖点は局所既約なので、2 つの成分の交点にはなれない。$C$ が可約ならベズーの定理より成分どうしが交わり、その交点は 2 本以上の枝をもつ特異点になるはずなので、$C$ が既約であることもここからわかる。）

$F=X^2{Y}^3+Y^2{Z}^3+Z^2{X}^3$ とおく。$C$ は 5 次の既約曲線なので、算術種数は $\frac{(5-1)(5-2)}{2}=6$ であり、幾何種数は $g=6-{\sum }_P{\delta }_P$（${\delta }_P$ は特異点 $P$ のδ不変量）で与えられる。

【特異点の決定】
$F_X=2X{Y}^3+3X^2{Z}^2,F_Y=3X^2{Y}^2+2Y{Z}^3,F_Z=3Y^2{Z}^2+2Z{X}^3$。
(1) $XYZ\ne 0$ の点: $F_X=F_Y=F_Z=0$ は $2Y^3+3X{Z}^2=0,3X^{2}Y+2Z^3=0,3Y^{2}Z+2X^3=0$ と同値。$Z=1$ と正規化すると $X=-\frac{2}{3}{Y}^3$。第 2 式に代入して $\frac{4}{3}{Y}^7=-2$、すなわち $Y^7=-\frac{3}{2}$。第 3 式に代入して $3Y^2=\frac{16}{27}{Y}^9$、すなわち $Y^7=\frac{81}{16}$。両者は矛盾するので、この範囲に特異点はない。
(2) 座標の 1 つが $0$ の点: たとえば $X=0$ のとき $F_Y=2Y{Z}^3=0$ より $Y=0$ または $Z=0$ となり、座標点だけが残る。巡回対称性 $X\to Y\to Z\to X$ より他も同様。3 つの座標点 $[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1]$ は実際に $F=F_X=F_Y=F_Z=0$ を満たし特異点である。

【各特異点の型】
$[0:0:1]$（$Z=1$）: $f=Y^2+X^3+X^2{Y}^3$。重み $\mathrm{wt}(X)=2,\mathrm{wt}(Y)=3$ で $Y^2+X^3$ が重み 6 の主要部、$X^2{Y}^3$ は重み 13 で高次。よって通常尖点 $A_2$（$y^2=x^3$ 型）で $\delta =1$（1 本の枝）。
$[1:0:0]$（$X=1$）: $f=Z^2+Y^3+Y^2{Z}^3$。同様に $Z^2+Y^3$ が主要部で $A_2$、$\delta =1$。
$[0:1:0]$（$Y=1$）: $f=X^2+Z^3+Z^2{X}^3$。同様に $A_2$、$\delta =1$。

【種数】
$g=6-(1+1+1)=3$。

【検算】リーマン・フルヴィッツ的な確認: 尖点 $A_2$ は一枝で正規化への射は 1 対 1 に分かれ、位相的には $\delta =1$ を引くだけでよい。別法として、(射影) 平面曲線の次数 5 に対して Plücker 型の公式 $g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-\sum \delta$ を使い、$\delta$ の総和が 3 であることを確認した。よって $g=3$。