局所交点数

$I_{P} (f, g) = dim O_{P} / (f, g)$ を計算できる。 $I_{P} (f, g) = I_{P} (f, g + h f)$ 、積への加法性 $I_{P} (f, g h) = I_{P} (f, g) + I_{P} (f, h)$ 、単位元の除去などで簡約し、 $I_{P} \geq m_{P} (f) m_{P} (g)$ （共通接線がなければ等号）も使う

前提

平面曲線の特異点と重複度（大学院数学代数幾何）

この技能までの道筋（67 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

約数の見つけ方（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
合同式（数学A 整数の性質）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
整式の除法（数学II 複素数と方程式）
剰余環のイデアルと単元の個数（大学数学代数学）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
最小多項式と既約性の判定（大学数学代数学）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
拡大次数と次数の積の公式（大学数学代数学）
有限体の構造と部分体（大学数学代数学）
射影平面曲線と斉次化（大学院数学代数幾何）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
平面曲線の特異点と重複度（大学院数学代数幾何）

説明

2 つの平面曲線 $f = 0$ , $g = 0$ が点 $P$ で「何重に」交わっているかを表す数が局所交点数 $I_{P} (f, g)$ です。接するところや特異点で交わるところでは、交わりが 1 点に見えても重なり具合が 2 以上になり、それを正確に数えるのがこの技能です。定義どおりに商空間の次元を求める代わりに、多項式の書き換え・積への分解・単位の除去といった規則で簡約して値を求めます。ベズーの定理で交点を重複込みで数えるときや、特異点の解析で使います。

なぜそうしてよいのか

体 $k$ は代数閉体（たとえば $C$ ）とします。点 $P$ における局所環を $O_{P} = {a / b : a, b \in k [x, y], b (P) \neq = 0}$ （ $P$ で分母が 0 にならない有理関数全体）と定め、 $(f, g)$ を $f, g$ が $O_{P}$ の中で生成するイデアル ${u f + v g : u, v \in O_{P}}$ とします。商 $O_{P} / (f, g)$ は $k$ 上のベクトル空間で、その次元が $I_{P} (f, g)$ です。たとえば原点 $O$ で $I_{O} (y, x^{n})$ を考えると、 $y = 0$ で割った後に残るのは $x$ の多項式を $x^{n}$ で割った余り（と、原点で 0 にならない分母）で、基底は $1, x, \dots, x^{n - 1}$ 、よって $I_{O} (y, x^{n}) = n$ です。直線 $y = 0$ と曲線 $y = x^{n}$ が原点で $n$ 重に接していることに対応します。 $O_{P}$ では $P$ で 0 にならない多項式 $u$ （ $u (P) \neq = 0$ ）は $1/ u$ をもつ「単位」なので、 $P$ から離れたところの交わりは数に入りません。

簡約の規則は次のように理解できます。(1) $f$ と $g + h f$ （ $h$ は多項式、または $O_{P}$ の元）が生成するイデアルは $f, g$ が生成するイデアルと同じなので $I_{P} (f, g) = I_{P} (f, g + h f)$ 。(2) $u (P) \neq = 0$ なら $u$ は逆元をもつので $(f, ug) = (f, g)$ 、よって $I_{P} (f, ug) = I_{P} (f, g)$ 。(3) 順序を入れ替えても同じイデアルなので $I_{P} (f, g) = I_{P} (g, f)$ 。(4) 平行移動など 1 次の座標変換で値は変わらない。さらに次の事実を使います（証明は商空間の間の写像の次元計算によりますが、ここでは認めます）。(5) 加法性 $I_{P} (f, g h) = I_{P} (f, g) + I_{P} (f, h)$ 。(6) $P$ が一方の曲線上になければ $I_{P} = 0$ 、 $P$ を通る共通成分（共通因子）があれば $I_{P} = \infty$ 、それ以外は有限。(7) $I_{O} (x, y) = 1$ （原点で横切る 2 直線）。

最後に重複度との関係です。 $P$ における $f, g$ の重複度を $m_{P} (f), m_{P} (g)$ とすると、常に $I_{P} (f, g) \geq m_{P} (f) m_{P} (g)$ が成り立ち、等号は $f$ と $g$ が $P$ で共通の接線（接錐の 1 次因子）をもたないとき、かつそのときに限ります。直観的には、横切って交わる限り各分枝の交わりは 1 回ずつで、分枝の本数の積だけ交わるが、接線を共有するとその分だけ余分に重なる、ということです。したがって共通接線がなければ重複度を掛けるだけで済み、共通接線があるときに (1)〜(5) の簡約が必要になります。

手順

平行移動で $P$ を原点 $O$ に移す。 $P$ が両方の曲線上にあるか（なければ $I_{P} = 0$ ）、 $P$ を通る共通因子がないか（あれば $I_{P} = \infty$ ）を確かめる。
$f, g$ の原点での重複度（最低次の斉次部分の次数）と接線（その斉次部分の 1 次因子）を求める。共通接線がなければ $I_{O} (f, g) = m_{O} (f) m_{O} (g)$ で終わり。
共通接線があれば、 $g$ を $g + h f$ に置き換えて項を消す（たとえば $f = y - φ (x)$ なら $g$ の中の $y$ を $φ (x)$ に置き換えた形にできる）。
得られた式を因数分解し、加法性 $I_{O} (f, g h) = I_{O} (f, g) + I_{O} (f, h)$ で分け、原点で 0 にならない因子（単位）は捨てる。
$I_{O} (x, y) = 1$ や手順 2 の等号の場合など、すぐわかる形になるまで手順 3, 4 を繰り返し、足し合わせる。

例題

$k = C$ とする。曲線 $f = y^{2} - x^{3}$ と $g = y - x^{2}$ の原点 $O = (0, 0)$ における局所交点数 $I_{O} (f, g)$ を求めよ。

例題の解答

（手順 1） $f (0, 0) = g (0, 0) = 0$ なので原点は両方の曲線上にある。 $g$ は 1 次式なので既約で、 $f$ を割り切らないから共通因子はない。

（手順 2） $f$ の最低次の部分は $y^{2}$ なので $m_{O} (f) = 2$ 、接線は $y = 0$ （2 重）。 $g$ の最低次の部分は $y$ なので $m_{O} (g) = 1$ 、接線は $y = 0$ 。共通接線 $y = 0$ があるので $I_{O} (f, g) > 2 \cdot 1 = 2$ であり、簡約が必要。

（手順 3） $f$ から $g$ の倍数 $(y + x^{2}) g = y^{2} - x^{4}$ を引く:
$I_{O} (g, f) = I_{O} (g, f - (y + x^{2}) g) = I_{O} (g, x^{4} - x^{3}) .$

（手順 4） $x^{4} - x^{3} = x^{3} (x - 1)$ で、 $x - 1$ は原点で値 $- 1 \neq = 0$ の単位なので捨てられる。加法性から
$I_{O} (g, x^{3} (x - 1)) = I_{O} (g, x^{3}) = 3 I_{O} (y - x^{2}, x) .$

（手順 5） $I_{O} (y - x^{2}, x) = I_{O} (y - x^{2} + x \cdot x, x) = I_{O} (y, x) = 1$ （または、 $y - x^{2}$ と $x$ は接線 $y = 0$ , $x = 0$ が異なるので $1 \cdot 1 = 1$ ）。よって $I_{O} (f, g) = 3 \cdot 1 = 3$ 。

答え: $3$

よくある誤り

共通接線があるのに $I_{P} = m_{P} (f) m_{P} (g)$ としてしまう誤り。上の例では $2 \cdot 1 = 2$ になるが、接線 $y = 0$ を共有しているので不等式 $I_{O} \geq 2$ が等号にならず、正しくは $I_{O} (y^{2} - x^{3}, y - x^{2}) = 3$ 。
原点で 0 になる因子まで単位として捨ててしまう誤り。単位として捨ててよいのは $u (P) \neq = 0$ のものだけである。 $x^{3} (x - 1)$ では $x - 1$ は捨ててよいが $x^{3}$ は捨てられず、加法性で $3 I_{O} (g, x)$ として数える。
ほかの交点の分まで数えてしまう誤り。 $x^{4} - x^{3} = 0$ からは $x = 0$ と $x = 1$ が出るが、 $x = 1$ は点 $(1, 1)$ での交わりで、原点の局所交点数には入らない。正しくは $I_{O} = 3$ , $I_{(1, 1)} = 1$ で、合計の 4 は別の量である。
$g$ を $g + h f$ ではなく $g h$ に置き換えてよいと思う誤り。 $I_{P} (f, g h) = I_{P} (f, g) + I_{P} (f, h)$ なので、 $h (P) = 0$ のときは値が増える。たとえば $I_{O} (y, x) = 1$ だが $I_{O} (y, x \cdot x) = 2$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
複素アフィン平面 $A_{C}^{2}$ （座標 $(x, y)$ ）内の 2 つの曲線 $f = y^{2} - x^{3} = 0, g = y - x^{2} = 0$ を考える。原点 $P = (0, 0)$ における局所交点数 $I_{P} (f, g) = dim_{C} O_{P} / (f, g)$ を求めよ。ただし $O_{P}$ は $A_{C}^{2}$ の点 $P$ における局所環（ $C [x, y]$ の極大イデアル $(x, y)$ での局所化）とする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ベズーの定理（大学院数学代数幾何）