代数幾何の問題

$Z=1$ とおくと
$$f=(y^2-x^3{)}^2-4x^{5}y-x^7,g=(y^2-x^3{)}^2-4x^{5}y$$
で、$P$ は原点 $O=(0,0)$ に対応する。$f,g$ はともに $O$ を通る。

解法 1（イデアルの変形） $f=g-x^7$ なので、イデアルとして $(f,g)=(g,x^7)$。よって
$$I_O(f,g)=I_O(g,x^7)=7I_O(g,x).$$
ここで交点数の加法性 $I_O(g,hk)=I_O(g,h)+I_O(g,k)$ を使った（$x$ は $g$ を割り切らないので共通成分はない）。$I_O(g,x)=\dim \mathbb{C}[x,y{]}_{(x,y)}/(g,x)=\dim \mathbb{C}[y{]}_{(y)}/(g(0,y))$ で、$g(0,y)=y^4$ なので $I_O(g,x)=4$。したがって
$$I_P(C,D)=7\cdot 4=28.$$

解法 2（パラメータ表示による検算） $x=t^4,y=t^6+t^7$ とおくと
$$y^2-x^3=t^{12}+2t^{13}+t^{14}-t^{12}=2t^{13}+t^{14},$$
$$(y^2-x^3{)}^2=4t^{26}+4t^{27}+t^{28},4x^{5}y=4t^{26}+4t^{27},x^7=t^{28}$$
より $f(t^4,t^6+t^7)=0$。$f$ は $y$ について $4$ 次のモニック多項式で $O$ での重複度は $4$、このパラメータ表示は $t$ の指数 $4,6,7$ の最大公約数が $1$ なので単射的であり、$C$ の $O$ における唯一の分枝を与える（$x=t^4$ より分枝の重複度は $4$ で、$f$ の重複度と一致する）。よって
$$I_O(f,g)={\mathrm{ord}}_{t}g(t^4,t^6+t^7)={\mathrm{ord}}_t(t^{28})=28$$
となり、解法 1 と一致する（$g=f+x^7$ なので $g(t^4,t^6+t^7)=t^{28}$）。

ベズーの定理との整合 同様に射影的には $C=Z\cdot D-X^7$ なので、$C\cap D=D\cap \{X^7=0\}$。$D$ に $X=0$ を代入すると $Y^4{Z}^2=0$ なので交点は $[0:0:1]$（交点数 $7\cdot 4=28$）と $[0:1:0]$（交点数 $7\cdot 2=14$）で、合計 $28+14=42=7\cdot 6$ となりベズーの定理と合う。

答え: $28$

$Z=1$ とおくと、$u=y^2-x^3$ として
$$f=u^2-4x^{5}y-x^7,g=u^2-4x^{5}y.$$
よって $f-g=-x^7$。イデアルとして $(f,g)=(g,f-g)=(g,x^7)$ なので、局所交点数は
$$I_P(C,D)=I_P(g,x^7)=7I_P(g,x)$$
（交点数は積に関して加法的）。$I_P(g,x)=\dim \mathbb{C}\{x,y\}/(g,x)=\dim \mathbb{C}\{y\}/(g(0,y))$。$g(0,y)=(y^2{)}^2=y^4$ なので $I_P(g,x)=4$。

ゆえに $I_P(C,D)=7\times 4=28$。

検算: $x=0$（直線）と $g$ の交点数は $g$ の $y^4$ の項から 4。$D$ の次数 6 と直線の交点数合計 6 以下で、$4\le 6$ と整合。また $(g,x^7)$ で $\mathbb{C}\{x,y\}/(g,x^7)$ は $g$ が $y$ に関して 4 次のワイエルシュトラス多項式（$g=y^4+\cdots$）なので、$\mathbb{C}\{x\}/(x^7)$ 上の階数 4 の自由加群となり次元 $7\cdot 4=28$ と一致。