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代数幾何の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学代数幾何

複素射影平面 $P_{C}^{2}$ （斉次座標 $[X : Y : Z]$ ）内の $5$ 次曲線 $C$ と、複素数 $t$ をパラメータとする $3$ 次曲線 $D_{t}$ を
$C : Y^{2} Z^{3} - X^{4} Z - X^{5} = 0, D_{t} : Y Z^{2} - X^{2} Z - t X^{3} = 0$
で定める。ただし $t \neq = 0, t \neq = \frac{1}{2}$ とする。点 $O = [0 : 0 : 1]$ 、 $P = [0 : 1 : 0]$ における $C$ と $D_{t}$ の局所交点数をそれぞれ $I_{O} (C, D_{t})$ 、 $I_{P} (C, D_{t})$ とする。組 $(I_{O} (C, D_{t}), I_{P} (C, D_{t}))$ をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

局所交点数（説明と入口の問題）
ベズーの定理（説明と入口の問題）
射影平面曲線と斉次化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（69 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

無限遠直線 $Z = 0$ 上にある交点を調べ、 $P$ 以外の交点がすべてアフィン部分にあることを確かめる。そのうえでベズーの定理（総和 $15$ ）を使う。

ヒント 2

$D_{t}$ はアフィン部分ではグラフ $y = x^{2} + t x^{3}$ である。グラフ上の点での交点数は、 $f (x, x^{2} + t x^{3})$ の $x = a$ における零点の位数に等しい。

ヒント 3

$f (x, x^{2} + t x^{3}) = x^{5} (t^{2} x + 2 t - 1)$ となるので、アフィン部分の交点数の合計は $6$ である。

答えと解説

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(5, 9)

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解説を読む

1. 無限遠直線上の交点. $Z = 0$ とおくと、 $C$ の式は $- X^{5} = 0$ 、 $D_{t}$ の式は $- t X^{3} = 0$ となる。 $t \neq = 0$ より、どちらも $X = 0$ 、すなわち無限遠直線上の点は $P = [0 : 1 : 0]$ のみである。したがって $C \cap D_{t}$ のうち $P$ 以外の点はすべてアフィン部分 $Z \neq = 0$ にある。

2. ベズーの定理が使えること. アフィン座標 $x = X / Z, y = Y / Z$ では
$C : f (x, y) = y^{2} - x^{4} (1 + x) = 0, D_{t} : y = g (x) := x^{2} + t x^{3}$
である。 $x^{4} (1 + x)$ は $C [x]$ で平方でないので、 $y$ の $2$ 次式 $y^{2} - x^{4} (1 + x)$ は既約である。 $5$ 次斉次式 $Y^{2} Z^{3} - X^{4} Z - X^{5}$ は $X^{5}$ の項をもつので $Z$ で割り切れず、したがって $C$ は既約である。同様に $y - g (x)$ は $y$ について $1$ 次なので既約であり、 $3$ 次斉次式 $Y Z^{2} - X^{2} Z - t X^{3}$ は $t \neq = 0$ より $Z$ で割り切れないから、 $D_{t}$ も既約である。次数が異なるので $C \neq = D_{t}$ であり、 $C$ と $D_{t}$ は共通成分をもたない。よってベズーの定理より
$Q \in C \cap D_{t} \sum I_{Q} (C, D_{t}) = 5 \cdot 3 = 15.$

3. アフィン部分の交点数. $C [x, y] / (f, y - g (x)) ≅ C [x] / (f (x, g (x)))$ であり、点 $(a, g (a))$ で局所化すると
$I_{(a, g (a))} (C, D_{t}) = ord_{x = a} f (x, g (x))$
となる。実際に計算すると
$f (x, g (x)) = x^{4} (1 + t x)^{2} - x^{4} (1 + x) = x^{4} (2 t x + t^{2} x^{2} - x) = x^{5} (t^{2} x + 2 t - 1) .$
- $x = 0$ （点 $O$ ）では、 $t \neq = \frac{1}{2}$ より $2 t - 1 \neq = 0$ なので位数は $5$ である。よって $I_{O} (C, D_{t}) = 5$ 。
- $x = a := \frac{1 - 2 t}{t ^{2}}$ （ $a \neq = 0$ ）に対応する点 $Q = (a, g (a))$ では位数は $1$ であり、 $I_{Q} = 1$ 。

アフィン部分の交点数の合計は $de g f (x, g (x)) = 6$ である。

4. 点 $P$ での交点数. ベズーの定理より
$I_{P} (C, D_{t}) = 15 - 6 = 9.$

（検算） $Y = 1$ のアフィンチャートで $P$ を原点とすると、 $C : z^{3} - x^{4} z - x^{5} = 0$ 、 $D_{t} : z^{2} - x^{2} z - t x^{3} = 0$ となる。 $D_{t}$ は原点で尖点をもち、 $x = s^{2}$ 、 $z = s^{3} w$ とおくと $w^{2} - s w - t = 0$ となるので、 $w = t + \frac{s}{2} + \dots$ と媒介変数表示できる。この表示を $C$ の式に代入すると
$z^{3} - x^{4} z - x^{5} = t^{3/2} s^{9} + O (s^{10})$
となり、 $t \neq = 0$ より位数は $9$ である。これは上の結果と一致する。

以上より、答えは $(5, 9)$ である。

別解

アフィン座標で調べる。

点 $O$ での交点数 $Z = 1$ の座標 $(x, y) = (X, Y)$ をとると、 $C : y^{2} - x^{4} - x^{5} = 0$ 、 $D_{t} : y = x^{2} + t x^{3}$ である。 $D_{t}$ は $O$ で滑らかで、 $x$ でパラメータ付けできる。これを $C$ の式に代入すると
$(x^{2} + t x^{3})^{2} - x^{4} - x^{5} = (2 t - 1) x^{5} + t^{2} x^{6}$
となる。 $t \neq = 1/2$ より $x$ について位数は $5$ 。よって $I_{O} = 5$ 。

点 $P$ での交点数 $Y = 1$ の座標 $(x, z) = (X, Z)$ をとると、 $C : z^{3} - x^{4} z - x^{5} = 0$ 、 $D_{t} : z^{2} - x^{2} z - t x^{3} = 0$ である。
$z = ux$ とおくと $D_{t}$ の式は $x^{2} (u^{2} - ux - t x) = 0$ となり、 $x \neq = 0$ の部分は $u^{2} = x (u + t)$ である。
$t \neq = 0$ なので $x = u^{2} / (u + t)$ と解け、 $D_{t}$ の $P$ での枝は
$x = u^{2} / (u + t), z = u^{3} / (u + t)$
というパラメータ表示をもつ（ $D_{t}$ の $P$ での接線は $z = 0$ で、 $x = 0$ の方向の枝はない）。これを $C$ の式に代入すると、 $z^{3} \sim u^{9} / t^{3}$ 、 $x^{4} z \sim u^{11} / t^{5}$ 、 $x^{5} \sim u^{10} / t^{5}$ なので位数は $9$ 。よって $I_{P} = 9$ 。

検算ベズーの定理より交点数の総和は $5 \cdot 3 = 15$ 。 $O$ での交点数の計算で得た式 $(2 t - 1) x^{5} + t^{2} x^{6} = 0$ から、 $O$ 以外の交点は $x = - (2 t - 1) / t^{2} \neq = 0$ の $1$ 点（重複度 $1$ ）。 $5 + 9 + 1 = 15$ となり一致する。

答え: $(5, 9)$

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