代数幾何の問題

方針. $\chi$ を ${\mathbb{F}}_7$ のルジャンドル記号 $\left(\frac{\cdot }{7}\right)$（$\chi (0)=0$）とする。$c\in {\mathbb{F}}_7$ に対し $y^2=c$ の解 $y\in {\mathbb{F}}_7$ の個数は $1+\chi (c)$ である。アフィン部分の点は ${\sum }_x(1+\chi (x^3+x+3))=7+{\sum }_x\chi (x^3+x+3)$ 個で、無限遠点は $Z=0$ とおくと $X^3=0$ より $[0:1:0]$ の $1$ 個だから
$$\#E({\mathbb{F}}_7)=7+1+\sum _{x\in {\mathbb{F}}_7}\chi (x^3+x+3).$$

平方剰余. $1^2,2^2,3^2\equiv 1,4,2$ より、${\mathbb{F}}_7^{\times }$ の平方剰余は $\{1,2,4\}$、非剰余は $\{3,5,6\}$。

各 $x$ での値. $f(x)=x^3+x+3$ を $7$ で割った余りを求める。
- $x=0$: $f=3$、$\chi =-1$
- $x=1$: $f=1+1+3=5$、$\chi =-1$
- $x=2$: $f=8+2+3=13\equiv 6$、$\chi =-1$
- $x=3$: $f=27+3+3=33\equiv 5$、$\chi =-1$
- $x=4$: $f=64+4+3=71\equiv 1$、$\chi =+1$
- $x=5$: $f=125+5+3=133\equiv 0$、$\chi =0$
- $x=6$: $f=216+6+3=225\equiv 1$、$\chi =+1$

和をとる. ${\sum }_x\chi (f(x))=-1-1-1-1+1+0+1=-2$。よって
$$\#E({\mathbb{F}}_7)=8+(-2)=6.$$

（確認: アフィン点は $x=4$ で $y=\pm 1$、$x=5$ で $y=0$、$x=6$ で $y=\pm 1$ の $5$ 個、これに無限遠点 $[0:1:0]$ を加えて $6$ 個。ハッセの評価 $|6-8|\le 2\sqrt{7}$ もみたす。）

${\mathbb{F}}_7$ の平方剰余は $0^2=0,1^2=6^2=1,2^2=5^2=4,3^2=4^2=2$ より、非零の平方数は $\{1,2,4\}$（非平方は $\{3,5,6\}$）。

各 $x\in {\mathbb{F}}_7$ について $g(x)=x^3+x+3\mathrm{mod}7$ を計算し、$y^2=g(x)$ の解の個数（$g=0$ なら 1、非零平方なら 2、非平方なら 0）を数える。
- $x=0$: $g=3$（非平方）0 個
- $x=1$: $g=5$（非平方）0 個
- $x=2$: $g=8+2+3=13\equiv 6$（非平方）0 個
- $x=3$: $g=27+3+3=33\equiv 5$（非平方）0 個
- $x=4$: $g=64+4+3=71\equiv 1$（平方）2 個
- $x=5$: $g=125+5+3=133\equiv 0$ 1 個
- $x=6$: $g=216+6+3=225\equiv 1$（平方）2 個

アフィン点は $0+0+0+0+2+1+2=5$ 個。無限遠点 $[0:1:0]$ を加えて $\#E({\mathbb{F}}_7)=6$。

検算: ハッセの定理 $|6-8|=2\le 2\sqrt{7}$ を満たす。また 2 torsion 点は $g(x)=0$ の根 $x=5$ のみ（$(5,0)$）で、位数 2 の元がちょうど 1 つ、位数 6 の群として $\mathbb{Z}/6$ と整合する。