代数幾何の問題

方針. フロベニウスのトレース $a=q+1-\#E({\mathbb{F}}_q)$ を求め、$\alpha +\beta =a$, $\alpha \beta =q$ をみたす $\alpha ,\beta$ について $s_k={\alpha }^k+{\beta }^k$ を漸化式で計算し、$\#E({\mathbb{F}}_{q^k})=q^k+1-s_k$ を使う。

1. トレースを求める. $q=7$, $\#E({\mathbb{F}}_7)=6$ より
$$a=7+1-6=2.$$
（ハッセの評価 $|a|\le 2\sqrt{7}\approx 5.29$ もみたしている。）

2. 漸化式を立てる. $\alpha ,\beta$ は $T^2-aT+q=T^2-2T+7=0$ の 2 根なので、${\alpha }^2=2\alpha -7$, ${\beta }^2=2\beta -7$ である。両辺に ${\alpha }^{k-2}$, ${\beta }^{k-2}$ を掛けて足すと
$$s_k=2s_{k-1}-7s_{k-2}(k\ge 2).$$
初期値は $s_0={\alpha }^0+{\beta }^0=2$, $s_1=\alpha +\beta =2$。

3. $s_3$ を計算する.
$$s_2=2\cdot 2-7\cdot 2=-10,$$
$$s_3=2\cdot (-10)-7\cdot 2=-34.$$

4. 点の個数を求める.
$$\#E({\mathbb{F}}_{7^3})=7^3+1-s_3=343+1+34=378.$$

（確認: $E({\mathbb{F}}_7)$ は $E({\mathbb{F}}_{7^3})$ の部分群なので $6\mid 378$ となるはずで、実際 $378=6\times 63$。また $|s_3|=34\le 2\sqrt{343}\approx 37.04$ でハッセの評価もみたす。）

よって答えは $378$ である。

フロベニウスのトレース $a=q+1-\#E({\mathbb{F}}_q)=7+1-6=2$。フロベニウスの固有値を $\alpha ,\beta$ とすると $\alpha +\beta =2,\alpha \beta =7$。$s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおくと $s_n=2s_{n-1}-7s_{n-2}$、$s_0=2,s_1=2$。よって $s_2=2\cdot 2-7\cdot 2=-10$、$s_3=2\cdot (-10)-7\cdot 2=-34$。したがって $\#E({\mathbb{F}}_{7^3})=7^3+1-s_3=343+1+34=378$。\n\n検算: $\#E({\mathbb{F}}_7)$ を直接数える。平方剰余は $\{1,2,4\}$。$f(x)=x^3+x+3$ は $x=0,\dots ,6$ で $3,5,6,5,1,0,1$。$f=1$ の $x=4,6$ で各 2 点、$f=0$ の $x=5$ で 1 点、計 5 点と $O$ で 6 点となり、与えられた値と一致する。また $\#E({\mathbb{F}}_{7^3})$ は $\#E({\mathbb{F}}_7)=6$ で割り切れる必要があり、$378=6\cdot 63$ で整合する。さらに $(1-{\alpha }^3)(1-{\beta }^3)=1-s_3+343=378$ とも一致。