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平方剰余による有理点の数え上げ

${\mathbb{F}}_q$ の二次指標 $\chi$（${\mathbb{F}}_p$ ではルジャンドル記号）を使って $\#E({\mathbb{F}}_q)=q+1+{\sum }_{x\in {\mathbb{F}}_q}\chi (x^3+ax+b)$ を計算し、無限遠点を含めた有理点の個数を求められる

前提

• 射影平面曲線と斉次化 （大学院数学 代数幾何）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. ${\mathbb{F}}_q$ の 0 でない平方の一覧を作る。$q=p$ が素数なら $y=1,\dots ,\frac{p-1}{2}$ の $y^2\mathrm{mod}p$ を計算すれば全部そろう（$c^{(p-1)/2}\mathrm{mod}p$ で判定してもよい）。$q=p^n$（$n\ge 2$）なら ${\mathbb{F}}_q$ の元を具体的に表し（例: ${\mathbb{F}}_9={\mathbb{F}}_3[i],i^2=-1$）、$\pm y$ の組から 1 つずつ選んで 2 乗する

2. 各 $x\in {\mathbb{F}}_q$ について $f(x)=x^3+ax+b$ の値を計算する

3. 各値に $\chi$ を当てはめる: 0 なら $0$、0 でない平方なら $+1$、非平方なら $-1$

4. ${\sum }_x\chi (f(x))$ を計算し、$\#E({\mathbb{F}}_q)=q+1+{\sum }_x\chi (f(x))$ に代入する（$+1$ は無限遠点 $(0:1:0)$ の分）

例題

よくある誤り

• $\chi (0)=1$ として $y^2=0$ の解を 2 個と数えてしまう誤り。$y=0$ の 1 個だけなので、正しくは $\chi (0)=0$（解の個数 $1+\chi (0)=1$）。例題の $x=6$ では $f(6)\equiv 0$ で寄与は $0$

• 無限遠点を忘れて $q+{\sum }_x\chi (f(x))$ を答えてしまう誤り。正しくは $(0:1:0)$ を加えて $q+1+{\sum }_x\chi (f(x))$（例題では $5$ ではなく $6$）

• $q=p^n$ のとき、${\mathbb{F}}_q$ の元の平方判定を $\mathrm{mod}p$ のルジャンドル記号で済ませてしまう誤り。${\mathbb{F}}_q$ で平方かどうかは $c^{(q-1)/2}$ で決まり、一般にはルジャンドル記号とは一致しない。たとえば $n$ が偶数なら $c\in {\mathbb{F}}_p^{\times }$ について $\frac{p^n-1}{p-1}=1+p+\cdots +p^{n-1}$ は偶数なので $c^{(p^n-1)/2}=(c^{p-1}{)}^{(p^n-1)/(2(p-1))}=1$ となり、${\mathbb{F}}_p$ の 0 でない元はすべて平方（${\mathbb{F}}_9$ では $2=-1=i^2$ で $\chi (2)=1$。一方 $\left(\frac{2}{3}\right)=-1$）

• 平方の一覧を $1,\dots ,\frac{q-1}{2}$ そのもの（たとえば ${\mathbb{F}}_7$ で平方を $\{1,2,3\}$）としてしまう誤り。正しくは $y=1,\dots ,\frac{p-1}{2}$ を 2 乗した値の集合で、${\mathbb{F}}_7$ では $\{1,4,2\}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（大学院の講義の例題レベル）

  ${\mathbb{F}}_7=\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ を元の個数 $7$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上の曲線
  $$E:y^2=x^3+x+3$$
  を考える。$E$ は楕円曲線（非特異）であることを用いてよい。$E$ の射影閉包 $Y^{2}Z=X^3+X{Z}^2+3Z^3$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）の ${\mathbb{F}}_7$ 有理点の個数 $\#E({\mathbb{F}}_7)$（無限遠点を含む）を求めよ。

この技能を使う問題

• 難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）

  ${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上の曲線
  $$E:y^2=x^3-x+1$$
  を考える。$E$ は楕円曲線（非特異）である。$E({\mathbb{F}}_q)$ を、$E$ の射影閉包 $Y^{2}Z=X^3-X{Z}^2+Z^3$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体（無限遠点 $[0:1:0]$ を含む）とする。$E({\mathbb{F}}_{27})$ の元の個数を求めよ。

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  ${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_5$ 上の楕円曲線
  $$E:y^2=x^3+x+1$$
  を考える。$E({\mathbb{F}}_q)$ を、$E$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点（無限遠点 $O$ を含む）全体とする。$E({\mathbb{F}}_{125})$ の元の個数 $\#E({\mathbb{F}}_{5^3})$ を求めよ。

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  $a\in {\mathbb{F}}_7^{\times }$ に対し、${\mathbb{F}}_7$ 上の楕円曲線
  $$E_a:y^2=x^3+a$$
  を考える。$N_a$ を $E_a$ の ${\mathbb{F}}_7$ 有理点の個数（無限遠点 $O$ を含める）とする。$a$ が ${\mathbb{F}}_7^{\times }$ 全体を動くとき、$N_a$ のとりうる値をすべて求めよ。

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  ${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_{11}$ 上の楕円曲線
  $$E:y^2=x^3+1$$
  を考え、$E({\mathbb{F}}_{121})$ を $E$ の ${\mathbb{F}}_{121}$ 有理点全体（無限遠点 $O$ を含む）のなす群とする（群演算は $O$ を単位元とする通常の加法）。$E({\mathbb{F}}_{121})$ の元のうち、位数がちょうど $12$ であるものの個数を求めよ。

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  ${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上のアフィン曲線 $$y^2=x^5+1$$ の非特異射影モデルを $C$ とする。$C$ は種数 $2$ の超楕円曲線であり、$C$ の点のうちアフィン部分 $y^2=x^5+1$ に含まれないもの（無限遠点）はただ $1$ つで、それは ${\mathbb{F}}_7$ 上定義されている。$C({\mathbb{F}}_q)$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体の集合とするとき、$\#C({\mathbb{F}}_{7^4})$ を求めよ。

• 難易度 4（大学院入試の難問レベル）

  ${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_5$ 上の射影平面曲線
  $$C:X^4+Y^4+2Z^4=0(\subset {\mathbb{P}}^2,\text{斉次座標 }[X:Y:Z])$$
  を考える。$C$ は非特異であり、種数は $3$ である。$C$ の ${\mathbb{F}}_{125}$ 有理点（斉次座標をすべて ${\mathbb{F}}_{125}$ の元に取れる $C$ 上の点）の個数 $\#C({\mathbb{F}}_{125})$ を求めよ。

この技能の次に学べること

• 楕円曲線の有理点群の構造 （大学院数学 代数幾何）
• フロベニウスのトレースと拡大体上の点の数 （大学院数学 代数幾何）