ワイエルシュトラス方程式の非特異性

$y^{2} = x^{3} + a x + b$ が $F_{p}$ （ $p \neq = 2, 3$ ）上で非特異である条件 $4 a^{3} + 27 b^{2} \neq \equiv 0 (mod p)$ （ $x^{3} + a x + b$ が重根をもたないこと）を使い、楕円曲線になるパラメータ $a, b$ を判定・列挙できる

前提

平面曲線の特異点と重複度（大学院数学代数幾何）

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算数中学高校大学大学院

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掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
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ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
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関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
平面曲線の特異点と重複度（大学院数学代数幾何）

説明

$p \neq = 2, 3$ の素数について、 $F_{p}$ 上の曲線 $y^{2} = x^{3} + a x + b$ （ワイエルシュトラス方程式）が特異点をもたないための条件は $4 a^{3} + 27 b^{2} \neq \equiv 0 (mod p)$ です。この条件を満たすとき、射影閉包は楕円曲線になります。この技能では、この条件が「 $x^{3} + a x + b$ が重根をもたない」ことと同じであることを理解し、与えられた $a, b$ が楕円曲線を定めるかどうかの判定や、楕円曲線になる $(a, b)$ の数え上げができるようになります。

なぜそうしてよいのか

$f (x, y) = y^{2} - g (x)$ 、 $g (x) = x^{3} + a x + b$ とします。特異点は、 $F_{p}$ の拡大体（ $F_{p}$ 上代数的な元すべて）の範囲で $f = f_{x} = f_{y} = 0$ となる点です。 $f_{y} = 2 y$ で $p \neq = 2$ なので $y = 0$ 、すると $f = 0$ から $g (x) = 0$ 、 $f_{x} = - g^{'} (x) = 0$ から $g^{'} (x) = 0$ 。つまりアフィン部分の特異点は $(r, 0)$ （ $r$ は $g (r) = g^{'} (r) = 0$ を満たす数）で、 $g (r) = g^{'} (r) = 0$ は因数定理を 2 回使うと $(x - r)^{2} ∣ g (x)$ 、すなわち $r$ が $g$ の重根であることと同じです。無限遠点は斉次化 $F = Y^{2} Z - X^{3} - a X Z^{2} - b Z^{3}$ で $Z = 0$ とおくと $(0 : 1 : 0)$ だけで、 $F_{Z} = Y^{2} - 2 a X Z - 3 b Z^{2}$ はそこで $1 \neq = 0$ なので、無限遠点はいつも非特異です。よって「非特異 $⟺$ $g$ が重根をもたない」です。

次に重根の条件を $a, b$ で表します。 $g$ が重根 $r$ をもつなら $g^{'} (r) = 3 r^{2} + a = 0$ より $a = - 3 r^{2}$ 、これを $g (r) = 0$ に入れると $r^{3} - 3 r^{3} + b = 0$ より $b = 2 r^{3}$ 。このとき $4 a^{3} + 27 b^{2} = 4 (- 27 r^{6}) + 27 \cdot 4 r^{6} = 0$ です。逆に $4 a^{3} + 27 b^{2} = 0$ とします。 $a = 0$ なら $27 b^{2} = 0$ で $p \neq = 3$ より $b = 0$ 、 $g = x^{3}$ は重根 $0$ をもちます。 $a \neq = 0$ なら $r = - \frac{3 b}{2 a}$ とおくと（ $p \neq = 2$ なので $2 a$ で割れる）、 $27 b^{2} = - 4 a^{3}$ から $r^{2} = \frac{9 b ^{2}}{4 a ^{2}} = \frac{- 4 a ^{3}}{3 \cdot 4 a ^{2}} = - \frac{a}{3}$ となり（ $p \neq = 3$ なので $3$ で割れる）、 $g^{'} (r) = 3 r^{2} + a = 0$ 、 $g (r) = r (r^{2} + a) + b = - \frac{3 b}{2 a} \cdot \frac{2 a}{3} + b = 0$ 。よって $r$ は重根です。以上より
$y^{2} = x^{3} + a x + b が非特異 ⟺ 4 a^{3} + 27 b^{2} \neq \equiv 0 (mod p) .$
この証明から、重根があるときそれは $r = - \frac{3 b}{2 a}$ （または $0$ ）として $F_{p}$ の中にとれることもわかります。

手順

$p \neq = 2, 3$ であることを確かめる（ $p = 2, 3$ ではこの判定式は使えない）
判定式 $Δ = 4 a^{3} + 27 b^{2}$ を $p$ で割った余りで考える。 $4$ と $27$ を先に $p$ で割った余りに直しておくと計算が楽になる
判定するだけなら、与えられた $a, b$ を代入して $Δ \neq \equiv 0 (mod p)$ なら非特異（楕円曲線）、 $Δ \equiv 0 (mod p)$ なら特異と判定する
列挙するときは、特異になる $(a, b)$ （ $Δ \equiv 0$ ）を $a$ ごとに数える。 $Δ \equiv 0$ を $b^{2} \equiv c (a)$ （ $c (a)$ は $a$ の式）の形にして、各 $a$ に対する $b$ の個数を平方の一覧から読む
全体の個数 $p^{2}$ から特異な組の個数を引いて、楕円曲線になる組の個数を得る

例題

$p = 5$ とする。 $a, b \in F_{5}$ の組 $(a, b)$ で、 $y^{2} = x^{3} + a x + b$ が $F_{5}$ 上で非特異（楕円曲線）となるものの個数を求めよ。

例題の解答

手順 1: $p = 5 \neq = 2, 3$ なので判定式が使える。

手順 2: $27 \equiv 2 (mod 5)$ なので $Δ \equiv 4 a^{3} + 2 b^{2}$ 。 $Δ \equiv 0$ は両辺を $2$ で割って $2 a^{3} + b^{2} \equiv 0$ 、すなわち $b^{2} \equiv - 2 a^{3} \equiv 3 a^{3} (mod 5)$ 。

手順 4（特異な組を数える）: $F_{5}$ の平方は $0, 1, 4$ （ $0$ は $b = 0$ の 1 通り、 $1$ は $b = 1, 4$ 、 $4$ は $b = 2, 3$ の各 2 通り）。
- $a = 0$ : $3 a^{3} = 0$ → $b = 0$ の 1 個
- $a = 1$ : $3 \cdot 1 = 3$ → 平方でないので 0 個
- $a = 2$ : $3 \cdot 8 = 24 \equiv 4$ → $b = 2, 3$ の 2 個
- $a = 3$ : $3 \cdot 27 = 81 \equiv 1$ → $b = 1, 4$ の 2 個
- $a = 4$ : $3 \cdot 64 = 192 \equiv 2$ → 平方でないので 0 個

特異な組は $1 + 0 + 2 + 2 + 0 = 5$ 個。

手順 5: 全体は $5^{2} = 25$ 組なので、非特異な組は $25 - 5 = 20$ 個。

答え: $20$

よくある誤り

$Δ = 4 a^{3} + 27 b^{2}$ を整数のまま計算し、 $0$ でないから非特異と判断してしまう誤り。たとえば $p = 5, (a, b) = (2, 2)$ では $Δ = 4 \cdot 8 + 27 \cdot 4 = 140 \neq = 0$ だが、 $140 \equiv 0 (mod 5)$ なので特異。正しくは $Δ$ を $p$ で割った余りが $0$ かどうかで判定する
「重根をもたない」を「根をもたない」と取り違える誤り。 $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ は $Δ = 4 (- 27) + 27 \cdot 4 = 0$ で特異（ $(1, 0)$ が特異点）、一方 $F_{p}$ に根をもつ $x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ は $Δ = - 4 \neq \equiv 0$ （ $p \neq = 2$ ）で非特異。正しくは $g (r) = g^{'} (r) = 0$ となる $r$ の有無で判定する
$p = 2$ でもこの判定式を使ってしまう誤り。 $p = 2$ では $f_{y} = 2 y \equiv 0$ となり $y = 0$ が導けない。たとえば $y^{2} = x^{3} + 1$ は $Δ \equiv 27 \equiv 1 \neq \equiv 0 (mod 2)$ だが、 $f_{x} = - 3 x^{2} \equiv x^{2}$ より点 $(0, 1)$ で $f = f_{x} = f_{y} = 0$ となり特異。正しくは $p \neq = 2, 3$ のときだけ $4 a^{3} + 27 b^{2} \neq \equiv 0$ で判定する
$a, b$ の少なくとも一方が $0$ でなければ非特異としてしまう誤り。正しくは $4 a^{3} + 27 b^{2}$ を調べる（ $F_{5}$ で $(a, b) = (2, 2)$ は $a, b \neq = 0$ でも特異）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$F_{11} = Z /11 Z$ を元の個数 $11$ の有限体とし、その元を代表元 $0, 1, \dots, 10$ で表す。 $a \in F_{11}$ に対し、 $F_{11}$ 上の曲線
$E_{a} : y^{2} = x^{3} + a x + 2$
を考える。 $E_{a}$ が非特異でない（したがって楕円曲線にならない）ような $a$ をすべて求めよ。答えは代表元 $0 \leq a \leq 10$ の集合で答えよ。

ワイエルシュトラス方程式の非特異性

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題