代数幾何の問題

非特異の条件. $y^2=x^3+Ax+B$ が非特異であることは $4A^3+27B^2\ne 0$ と同値である（標数 $7\ne 2,3$）。$A=1$, $B=a$ で $4+27a^2\equiv 4+6a^2(\mathrm{mod}7)$。これが $0$ になるのは $6a^2\equiv 3$、すなわち $a^2\equiv 3\cdot 6^{-1}=3\cdot 6=18\equiv 4$ のときで、$a=2,5$。よって非特異なのは $a\in \{0,1,3,4,6\}$。

偶奇の判定. $E_a({\mathbb{F}}_7)$ は有限アーベル群なので、位数が偶数であることは位数 $2$ の元をもつこと（コーシーの定理）と同値である。位数 $2$ の点は $y=0$ の点 $(x_0,0)$、すなわち $x^3+x+a$ の ${\mathbb{F}}_7$ における根に対応する。よって
$$\#E_a({\mathbb{F}}_7)\text{ が偶数}⟺x^3+x+a\text{ が }{\mathbb{F}}_7\text{ に根をもつ}.$$

$x^3+x$ の値を計算すると
$x=0:0,1:2,2:10\equiv 3,3:30\equiv 2,4:68\equiv 5,5:130\equiv 4,6:222\equiv 5$。
値の集合は $\{0,2,3,4,5\}$ なので、$x^3+x+a=0$ が根をもつのは $-a\in \{0,2,3,4,5\}$、すなわち $a\in \{0,5,4,3,2\}$ のときである。

非特異の条件と合わせると $a\in \{0,3,4\}$ の $3$ 個。

（確認：例えば $a=3$ では直接数えて $\#E_3({\mathbb{F}}_7)=6$、$a=1$ では $\#E_1({\mathbb{F}}_7)=5$ となる。）

${\mathbb{F}}_7$ 上、$x^3+x+a$ の判別式は $-4-27a^2$ に比例するので、非特異 $⟺4+27a^2\not\equiv 0(\mathrm{mod}7)$。$27\equiv 6$ より $6a^2\equiv -4\equiv 3$、すなわち $a^2\equiv 3\cdot 6^{-1}=3\cdot 6=18\equiv 4$ なので $a\equiv \pm 2$。よって $a=2,5$ のとき特異で、それ以外の $a\in \{0,1,3,4,6\}$ のとき非特異。

次に $\#E_a({\mathbb{F}}_7)$ が偶数 $⟺$ 位数 2 の点が存在 $⟺$ $x^3+x+a=0$ が ${\mathbb{F}}_7$ に根をもつ（無限遠点を含めた群の位数が偶数であることと 2 倍点が存在することは同値。コーシーの定理）。

$g(x)=x^3+x\mathrm{mod}7$ を計算する。$g(0)=0,g(1)=2,g(2)=10\equiv 3,g(3)=30\equiv 2,g(4)=68\equiv 5,g(5)=130\equiv 4,g(6)=222\equiv 5$。根をもつ条件は $a=-g(x)$ となる $x$ があること。$-g(x)$ は $0,5,4,5,2,3,2$ なので、根をもつ $a$ の集合は $\{0,2,3,4,5\}$。

非特異な $a$ ($\ne 2,5$) との共通部分は $\{0,3,4\}$ で、個数は 3。

検算: $a=0$: $x(x^2+1)$ で $x=0$ が根、$E_0$ は非特異。$a=3$: $x=5$ で $125+5+3=133=7\cdot 19$ ✓。$a=4$: $x=2$ で $8+2+4=14$ ✓。$a=1$ と $a=6$ は $g(x)=-1=6$, $g(x)=1$ となる $x$ が上の表にないので根なし（位数は奇数）。