代数幾何の問題

$C$ は種数 1 の非特異曲線. 偏微分は $3X^2,3Y^2,3Z^2$ で、標数 $7\ne 3$ なのでこれらが同時に $0$ になるのは $X=Y=Z=0$ のときだけ。よって $C$ は非特異な平面 3 次曲線で、種数は $\frac{(3-1)(3-2)}{2}=1$。

$N_1$ の計算. ${\mathbb{F}}_7^{\times }$ は位数 $6$ の巡回群なので、3 乗写像の像は $\{1,-1\}$ で、
- $t^3=0$ となる $t$ は $t=0$ の $1$ 個
- $t^3=1$ となる $t$ は $1,2,4$ の $3$ 個
- $t^3=-1$ となる $t$ は $3,5,6$ の $3$ 個

である。$a^3+b^3+c^3=0$ を満たす $(a,b,c)\in {\mathbb{F}}_7^3$ を数える。$(a^3,b^3,c^3)=(u,v,w)\in \{0,1,-1{\}}^3$ で $u+v+w=0$ となるのは
- $(0,0,0)$: $1$ 通りの $(a,b,c)$
- 1 つが $0$、残りが $1$ と $-1$: 並べ方 $3\cdot 2=6$ 通りで、それぞれ $1\cdot 3\cdot 3=9$ 個、計 $54$ 個
- すべて $\pm 1$: 和は $\pm 1$ か $\pm 3$ で $7$ の倍数にならないので $0$ 個

よって解は $55$ 個。原点を除き ${\mathbb{F}}_7^{\times }$（位数 $6$）で割ると
$$N_1=\frac{55-1}{6}=9.$$

ゼータ関数（ハッセ・ヴェイユ）. 種数 1 の曲線では、ある複素数 $\alpha ,\beta$ で $\alpha +\beta =a$, $\alpha \beta =7$ となるものがあり、すべての $n\ge 1$ で
$$N_n=7^n+1-({\alpha }^n+{\beta }^n)$$
が成り立つ。$N_1=9$ より $a=7+1-9=-1$。
$s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおくと $s_1=-1$ で
$$s_3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )=(-1{)}^3-3\cdot 7\cdot (-1)=-1+21=20.$$
したがって
$$N_3=7^3+1-20=343+1-20=324.$$
（確認: ハッセの評価 $|s_3|\le 2\cdot 7^{3/2}\approx 37.0$ を満たし、また $C({\mathbb{F}}_7)$ は $C({\mathbb{F}}_{343})$ の部分群なので $9\mid 324$ であることとも合う。）

$C$ は標数 7 で非特異な 3 次曲線（種数 1）。まず $N_1$ を数える。${\mathbb{F}}_7^{\times }$ の 3 乗は $\{1,2,4\}\mapsto 1$, $\{3,5,6\}\mapsto -1$、$0\mapsto 0$。$a=x^3,b=y^3,c=z^3\in \{0,\pm 1\}$ で $a+b+c\equiv 0(\mathrm{mod}7)$ となるのは整数として $a+b+c=0$ のときのみ。
- $(0,0,0)$: 1 通り（重み 1）
- $\{0,1,-1\}$ の並べ替え 6 通り（各重み $1\cdot 3\cdot 3=9$）で計 54
よって ${\mathbb{F}}_7^3$ の解は $1+54=55$ 個、原点を除くと 54 個、射影点は $54/6=9$ 個。$N_1=9$。
$N_1=7+1-a$ より $a=\alpha +\bar{\alpha }=-1$、$\alpha \bar{\alpha }=7$。$s_n={\alpha }^n+{\bar{\alpha }}^n$ とすると $s_1=-1$, $s_2=a^2-2\cdot 7=-13$, $s_3=a{s}_2-7s_1=13+7=20$。
$N_3=7^3+1-s_3=343+1-20=324$。
検算: $N_2=49+1-(-13)=63$ で、$N_1=9$ 点が $N_2$ に含まれ $9\mid 63$ など群構造と矛盾しない。また別法として $\alpha =\frac{-1\pm \sqrt{-27}}{2}$ に対し ${\alpha }^3=\frac{20\pm ...}{}$ を直接計算しても $s_3=20$ となる。