代数幾何の問題

方針 ヴェイユ予想（有限体上の曲線の合同ゼータ関数の有理性と関数等式）により、種数 $g=2$ の曲線 $C/{\mathbb{F}}_q$（$q=3$）に対して、ある代数的整数 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_4$ があって
$$N_k=q^k+1-\sum _{i=1}^4{\alpha }_i^k(k\ge 1)$$
が成り立ち、$L$ 多項式
$$P(T)=\prod _{i=1}^4(1-{\alpha }_{i}T)=1+a_{1}T+a_2{T}^2+q{a}_1{T}^3+q^2{T}^4$$
は整数係数である。$a_1,a_2$ は $N_1,N_2$ から決まるので、$N_1,N_2$ を数えれば $N_4$ がわかる。

$N_1$ の計算 $f(x)=x^5-x$ とおく。$x\in {\mathbb{F}}_3$ ではフェルマーの小定理より $x^3=x$ なので $x^5=x^3\cdot x^2=x^3=x$、よって $f(x)=0$。したがってアフィン点は $(0,0),(1,0),(2,0)$ の $3$ 個で、無限遠点を加えて $N_1=4$。

$N_2$ の計算 ${\mathbb{F}}_9^{\times }$ は位数 $8$ の巡回群なので、$x\in {\mathbb{F}}_9^{\times }$ に対し $x^4=\pm 1$ である。
- $x=0$ または $x^4=1$（$4$ 個）のとき $f(x)=x(x^4-1)=0$ で、点は $y=0$ の $1$ 個ずつ、計 $5$ 個。
- $x^4=-1$（$4$ 個）のとき $f(x)=x\cdot (-1)-x=-2x=x$（標数 $3$）。${\mathbb{F}}_9^{\times }$ の平方元は位数が $4$ の約数である元なので、位数 $8$ の元 $x$ は平方元でない。よって $y^2=x$ は解をもたない。

したがってアフィン点は $5$ 個、無限遠点を加えて $N_2=6$。

$L$ 多項式の決定 $s_k={\sum }_i{\alpha }_i^k$ とおくと $s_1=q+1-N_1=4-4=0$, $s_2=q^2+1-N_2=10-6=4$。
$a_1=-s_1=0$、$a_2={\sum }_{i<j}{\alpha }_i{\alpha }_j=\frac{s_1^2-s_2}{2}=\frac{0-4}{2}=-2$。よって
$$P(T)=1-2T^2+9T^4.$$

$N_4$ の計算 $P(T)=Q(T^2)$, $Q(U)=1-2U+9U^2=(1-{\beta }_{1}U)(1-{\beta }_{2}U)$ と書くと ${\beta }_1+{\beta }_2=2$, ${\beta }_1{\beta }_2=9$ で、${\alpha }_i^2$ は ${\beta }_1,{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_2$ である。よって
$$s_4=\sum _i{\alpha }_i^4=2({\beta }_1^2+{\beta }_2^2)=2\{({\beta }_1+{\beta }_2{)}^2-2{\beta }_1{\beta }_2\}=2(4-18)=-28.$$
（検算: $s_2=2({\beta }_1+{\beta }_2)=4$ で一致する。）したがって
$$N_4=3^4+1-s_4=81+1+28=110.$$

（補足: $J$ を $C$ のヤコビ多様体とすると $\#J({\mathbb{F}}_3)=P(1)=8$ であり、これは $f$ の ${\mathbb{F}}_3$ 上の分解 $x(x-1)(x+1)(x^2+1)$ から得られる $\#J[2]({\mathbb{F}}_3)=8$ と整合する。）

答え: $110$

種数 2 なので、ゼータ関数の分子 $L(T)$ は 4 次式で、$N_1,N_2$ から決まる。

$N_1$: $x=0,1,2\in {\mathbb{F}}_3$ に対し $x^5-x=0$（$2^5-2=30\equiv 0$）。各 $x$ で $y=0$ のみなのでアフィン点は 3 個。無限遠点を加えて $N_1=4$。

$N_2$: ${\mathbb{F}}_9={\mathbb{F}}_3[i]$（$i^2=-1$）。$x^5-x=x(x^4-1)$。$x^4=1$ または $x=0$ となる $x\in \{0,\pm 1,\pm i\}$ の 5 個で値は 0 なので $y=0$ の 1 点ずつ。残り 4 個の $x$ は位数 8 の元で $x^4=-1$ だから $x^5-x=x(-1-1)=-2x=x$。位数 8 の元は ${\mathbb{F}}_9^{\ast }$ の生成元で非平方なので $y$ は存在しない。よってアフィン点は 5 個、$N_2=6$。

Frobenius の固有値: ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_4$ とし $S_k=\sum {\alpha }_j^k=q^k+1-N_k$。$S_1=3+1-4=0$、$S_2=9+1-6=4$。基本対称式 $e_1=S_1=0$、$e_2=(S_1^2-S_2)/2=-2$。関数等式より $e_3=q{e}_1=0$、$e_4=q^2=9$。

Newton の恒等式より $S_3=e_1{S}_2-e_2{S}_1+3e_3=0$、
$S_4=e_1{S}_3-e_2{S}_2+e_3{S}_1-4e_4=0+8+0-36=-28$。

したがって $N_4=3^4+1-S_4=81+1+28=110$。

検算: $L(T)=1-2T^2+9T^4$、$N_3=27+1-0=28$ は非負整数で整合。Weil 境界 $|N_4-82|\le 2\cdot 2\cdot 9=36$ を満たす（$|28|\le 36$）。また $N_4\ge N_2=6$ で ${\mathbb{F}}_9$ 点を含む。