複素解析・リーマン面の問題

リーマン・フルヴィッツの公式. 次数 $n$ の正則写像 $f:X\to {\mathbb{P}}^1$ について
$$2g-2=n(2\cdot 0-2)+\sum _{P\in X}(e_P-1)$$
が成り立つ。ここでは $n=4$ なので $2g-2=-8+\sum (e_P-1)$。

有限の点での分岐. $x=a$（$a\in \mathbb{C}$）の上の点は $y^4-4y-a^3=0$ の根に対応する。根が重根になるのは $\frac{\partial }{\partial y}(y^4-4y)=4y^3-4=0$、すなわち $y^3=1$ のときである。$y={\omega }^k$（$\omega =e^{2\pi i/3}$, $k=0,1,2$）のとき
$$y^4-4y=y\cdot y^3-4y=-3y=-3{\omega }^k$$
なので、分岐が起こるのは $a^3=-3{\omega }^k$ となる $a$ である。$-3,-3\omega ,-3{\omega }^2$ は相異なり、それぞれ $3$ 個の立方根をもつので、そのような $a$ は $9$ 個ある。

それぞれの $a$ の上では、重根は $y={\omega }^k$ の 1 つだけで、$\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}(y^4-4y)=12y^2\ne 0$ だからちょうど 2 重根である。よって分岐指数 $e=2$ の点が 1 つずつあり、$e_P-1=1$ の寄与が $9$ 個で合計 $9$。（アフィン部分は非特異なので、$x=a$ の上の点は $y$ の根と 1 対 1 に対応する。）

無限遠での分岐. $x\to \infty$ のとき $y^4\approx x^3$ より $y\sim x^{3/4}$ となる。$\gcd (4,3)=1$ なので、ピュイズー展開は $x^{-1/4}$ のべきで書かれ、$x=\infty$ の上には分岐指数 $4$ の点がただ 1 つある（$4$ 本の分枝が巡回的につながる）。寄与は $4-1=3$。

種数. 分岐の総和は $9+3=12$ なので
$$2g-2=-8+12=4,g=3.$$

検算（$y$ への射影）. $y:X\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 $3$ で、$x^3=y(y^3-4)$。右辺の単根 $y=0$ と $y^3=4$ の $3$ 根の上ではそれぞれ $e=3$（寄与 $2$ ずつ、計 $8$）、$y=\infty$ では $x^3\sim y^4$ で $\gcd (3,4)=1$ より $e=3$（寄与 $2$）。$2g-2=3(-2)+10=4$ となり、やはり $g=3$。

答えは $3$。

$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 4 なので、リーマン・フルヴィッツの公式 $2g-2=4\cdot (-2)+{\sum }_P(e_P-1)$ を使う。

有限の $x$: $f(y)=y^4-4y-x^3$ が重根をもつ条件は $f^{\prime }(y)=4y^3-4=0$、すなわち $y^3=1$（$y=1,\omega ,{\omega }^2$）かつ $f(y)=0$。$y^3=1$ のとき $f=y\cdot y^3-4y-x^3=-3y-x^3$ なので $x^3=-3y$。各 $y$ に対し $x$ は 3 個ずつあり、$y$ が異なれば $x^3=-3y$ も異なるので、重根をもつ $x$ は全部で $9$ 個で相異なる。そこで $f^{\prime \prime }(y)=12y^2\ne 0$ だから根は丁度二重根 1 つと単根 2 つ。曲線は非特異（$f_x=-3x^2\ne 0$）なので二重根の位置で $e=2$ の単純分岐点が 1 つ。寄与は各 1 で計 $9$。

$x=\infty$: $y^4\approx x^3$ で $\gcd (4,3)=1$ なので $\infty$ の上にはただ 1 点があり、$e=4$（完全分岐）。寄与は $3$。

$\sum (e_P-1)=9+3=12$。$2g-2=-8+12=4$ より $g=3$。

検算: $y^4=x^3$ 型の非退化なニュートン多角形の内部格子点数は $\frac{(4-1)(3-1)}{2}=3$ で一致。