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複素解析・リーマン面の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学複素解析・リーマン面

複素アフィン平面曲線
$y^{3} = x (x - 1)$
を考える。多項式 $F (x, y) = y^{3} - x^{2} + x$ は $C [x, y]$ で既約であり、この曲線の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面を $X$ とする。座標関数 $x$ が定める正則写像 $x : X \to P^{1}$ （次数 $3$ ）について、点 $p \in X$ における分岐指数を $e_{p}$ とする。総和
$p \in X \sum (e_{p} - 1)$
を求めよ。

この問題で使うもの

正則写像の次数と分岐指数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「正則写像の次数と分岐指数」を使う。 $F = F_{y} = 0$ となる点と、 $x = \infty$ の上の点を調べ、それぞれで局所座標を使って分岐指数を求めよう。

ヒント 2

$F_{y} = 3 y^{2}$ なので有限部分の候補は $y = 0$ の点、すなわち $(0, 0)$ と $(1, 0)$ 。そこでは $y$ が局所座標になり、 $x$ （または $x - 1$ ）が $y$ について何位の零点をもつかを見ればよい。

ヒント 3

$(0, 0)$ では $x = \frac{y ^{3}}{x - 1}$ 、 $(1, 0)$ では $x - 1 = \frac{y ^{3}}{x}$ と書ける。無限遠点 $[1 : 0 : 0]$ では $u = y / x, t = z / x$ とおくと $u^{3} = t - t^{2}$ となる。

答えと解説

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6

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解説を読む

次数の確認. $x = c$ を固定すると $y^{3} = c (c - 1)$ は $y$ の 3 次方程式なので、 $x : X \to P^{1}$ の次数は $3$ である。各ファイバーで $\sum_{x (p) = c} e_{p} = 3$ が成り立つ。

有限部分で分岐しうる点を探す. 分岐しうるのは $F = F_{y} = 0$ となる点である。 $F_{y} = 3 y^{2}$ なので $F_{y} = 0$ は $y = 0$ 、このとき $F = 0$ から $x (x - 1) = 0$ 、すなわち $x = 0$ または $x = 1$ 。

それ以外の $c \neq = 0, 1$ では $y^{3} = c (c - 1) \neq = 0$ は相異なる 3 つの解をもち、ファイバーは 3 点、各点で $e_{p} = 1$ である（ $F_{y} \neq = 0$ なので陰関数定理により $x$ が局所座標になる）。

$x = 0$ の上. 点 $(0, 0)$ で $F_{x} = - 2 x + 1 = 1 \neq = 0$ なので曲線は非特異で、 $y$ が局所座標になる。 $y^{3} = x (x - 1)$ より $x$ は $y$ の正則関数で
$x = - y^{3} + (y の 4 次以上の項),$
すなわち $x$ は $y$ について 3 位の零点をもつ（実際 $x (x - 1) = y^{3}$ で $x - 1$ は $p$ の近くで $- 1$ に近い単数）。よって $e_{(0, 0)} = 3$ 。ファイバーはこの 1 点だけで $3 = de g x$ と一致する。

$x = 1$ の上. 同様に点 $(1, 0)$ で $F_{x} = - 1 \neq = 0$ 、局所座標は $y$ 。 $x - 1 = \frac{y ^{3}}{x}$ で $x$ は $1$ に近いので、 $x - 1$ は $y$ について 3 位の零点をもつ。よって $e_{(1, 0)} = 3$ 。

$x = \infty$ の上. 斉次化すると $y^{3} = x^{2} z - x z^{2}$ 。 $z = 0$ とおくと $y = 0$ なので、無限遠点は $[x : y : z] = [1 : 0 : 0]$ の 1 点。 $u = y / x, t = z / x$ とおくと、この点の近くで曲線は
$u^{3} = t - t^{2}$
となり、 $\partial / \partial t$ の値 $1 - 2 t = 1 \neq = 0$ より非特異で、 $u$ が局所座標である。 $t = u^{3} + (高次)$ となり、 $t$ は $u$ について 3 位の零点をもつ。関数 $x = 1/ t$ はこの点で 3 位の極をもつので、 $e_{\infty} = 3$ 。ファイバーは 1 点で、 $3 = de g x$ と一致する。

総和. 分岐点は 3 点で、それぞれ $e_{p} - 1 = 2$ 。それ以外の点では $e_{p} - 1 = 0$ 。よって
$p \in X \sum (e_{p} - 1) = 2 + 2 + 2 = 6.$
（リーマン・フルヴィッツの公式 $2 g - 2 = 3 \cdot (- 2) + 6$ から $X$ の種数は $g = 1$ とわかる。）

別解

$x : X \to P^{1}$ は次数 3 の被覆。 $x = a$ の上の点の分岐を調べる。

$a \neq = 0, 1, \infty$ : $y^{3} = a (a - 1) \neq = 0$ は異なる 3 根をもつので、3 点に分かれ非分岐。
$a = 0$ : 局所座標 $x$ で $y^{3} = x \cdot (x - 1)$ 、 $x - 1$ は $x = 0$ で単元（ $- 1$ ）なので $y^{3} = - x \cdot u$ （ $u$ は単元）。 $x$ の $x = 0$ での位数は $y$ の位数の 3 倍。上の点は 1 点で $e = 3$ 。寄与 $2$ 。
$a = 1$ : 同様に $y^{3} = (x - 1) \cdot x$ 、 $x$ は単元。 $e = 3$ 。寄与 $2$ 。
$a = \infty$ : $t = 1/ x$ とおくと $y^{3} = x^{2} (1 - t)$ より、 $X$ の $x = \infty$ 上の点で $ord (x) = - e$ 、 $3 ord (y) = 2 ord (x)$ 。 $ord (x) = - e$ のとき $3 ∣ 2 e$ なので $3 ∣ e$ 、 $e \leq 3$ より $e = 3$ （1 点）。寄与 $2$ 。

合計 $2 + 2 + 2 = 6$ 。

検算（リーマン・フルヴィッツ）: $2 g - 2 = 3 \cdot (- 2) + 6 = 0$ より $g = 1$ 。実際 $y^{3} =$ 2 次式の曲線は種数 1（平面三次曲線 $y^{3} = x (x - 1)$ の射影閉包は $y^{3} z^{0}$ ... 次数 3 の滑らかでない点を持たない非特異モデルで、一般に $y^{n} =$ (次数 $d$ の無平方式) の種数公式 $g = \frac{( n - 1 ) ( d - 1 ) - ( g c d 補正 )}{2}$ で $2 \cdot 1 + ...$ と計算しても $g = 1$ となる）。2 点 $x = 0, 1$ と $\infty$ の 3 点での全分岐という構造は $Z /3$ 被覆の典型であり整合する。

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