複素解析・リーマン面の問題

1. 分岐の様子を調べる。 $p:{\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 $4$ の正則写像である。
$$p^{\prime }(z)=12z^3-12z^2-24z=12z(z^2-z-2)=12z(z-2)(z+1)$$
なので、有限な臨界点は $z=0,2,-1$ であり、いずれも $p^{\prime }$ の単根である。したがってそれぞれの点での分岐指数は $2$ である。臨界値は
$$p(0)=0,p(2)=48-32-48=-32,p(-1)=3+4-12=-5$$
で、互いに相異なる。よって各有限臨界値 $c\in \{0,-32,-5\}$ のファイバーは、分岐指数 $2$ の点 $1$ 個と不分岐な点 $2$ 個からなる。そのまわりのモノドロミーは互換である。また $z=\infty$ は $p^{-1}(\infty )$ のただ $1$ 点で、分岐指数 $4$ をもつ。よってそのまわりのモノドロミーは $4$ 次の巡回置換である。これ以外の点は分岐値ではない。

（検算）$p$ に対するリーマン・フルヴィッツの公式は $2\cdot 0-2=4(-2)+(1+1+1)+3$ となり、$-2=-2$ で成り立っている。

2. モノドロミー群（ガロア群）を決める。 ガロア閉包 $L/\mathbb{C}(t)$ のガロア群 $G$ は、被覆 $p$ のモノドロミー群と一致する。モノドロミー群は $4$ 点のファイバーに推移的に作用する（${\mathbb{P}}^1$ は連結だから）。そして $3$ つの互換と、それらの積の逆である $4$-サイクルで生成される。互換で生成される推移的な部分群は全対称群なので、$G=S_4$ であり、$|G|=24$ である。

3. ガロア被覆 $X\to {\mathbb{P}}^1$ の分岐を調べる。 $\pi :X\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 $|G|=24$ のガロア被覆である。分岐値 $b$ のまわりの局所モノドロミーの位数を $e_b$ とする。$G$ は ${\pi }^{-1}(b)$ に推移的に作用するので、$b$ の上には $24/e_b$ 個の点があり、どの点の分岐指数も $e_b$ である。ここで $e_b$ は、$p$ のモノドロミーの置換としての位数に等しい。
- $b=0,-32,-5$：互換なので $e_b=2$ である。上に $12$ 個の点があり、$\sum (e-1)=12$ となる。
- $b=\infty$：$4$-サイクルなので $e_b=4$ である。上に $6$ 個の点があり、$\sum (e-1)=6\cdot 3=18$ となる。

4. リーマン・フルヴィッツの公式を使う。 $\pi$ は次数 $24$ の非定数正則写像なので、次が成り立つ。
$$2g(X)-2=24(2\cdot 0-2)+3\cdot 12+18=-48+36+18=6$$
よって $g(X)=4$ である。

$p^{\prime }(z)=12z^3-12z^2-24z=12z(z-2)(z+1)$ なので、臨界点は $z=0,2,-1$ で、いずれも単純な臨界点（重複度 2）である。臨界値は $p(0)=0$、$p(2)=-32$、$p(-1)=-5$ で、互いに異なる。また $z=\infty$ は $t=\infty$ で完全分岐（分岐指数 4）する。

分岐点は $t=0,-32,-5,\infty$ の 4 つである。各ファイバーの様子は次のとおり。
- $p(z)=0$ では $z=0$ が二重根で、残りの根は相異なる。
- $p(z)+32=(z-2{)}^2(3z^2+8z+8)$ で、2 次因子の判別式は $64-96<0$ なので、根は相異なり $2$ とも異なる。
- $t=-5$ でも同様に、分岐するのは $z=-1$ だけである。

したがってモノドロミーは、3 つの互換と 1 つの 4-サイクルである。互換で生成される推移的部分群は $S_4$ なので、モノドロミー群は $S_4$（位数 24）となる。

検算として、リーマン・ヒルビッツで ${\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^1$ の種数を確認する。$2g-2=4(-2)+3\cdot 1+3=-2$ より $g=0$ で整合する。

ガロア閉包 $X\to {\mathbb{P}}_t^1$ は次数 24 のガロア被覆で、分岐指数は 2, 2, 2, 4 である。リーマン・ヒルビッツより
$2g-2=24\left(-2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)=24\cdot \frac{1}{4}\cdot ...$
ここで $-2+3\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ なので、$2g-2=24\cdot \frac{1}{4}=6$ より $g=4$。

上の第 1 式の途中表記は、$24\left(-2+3\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)$ と読む。各分岐点の寄与は $1-\frac{1}{e}$ で、$24\left(-2+3\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)=24\cdot \frac{1}{4}=6$ となる。

よって $g(X)=4$。