複素解析・リーマン面の問題

$X$ を、アフィン曲線
$$y^2=x^8+x$$
の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面とする（$x^8+x$ は重根をもたないので、$X$ は種数 $3$ の超楕円曲線である）。$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 $2$ の正則写像で、$x=\infty$ の上には相異なる $2$ 点 ${\infty }_{+},{\infty }_{-}$ があり、そこでは分岐しない。

因子 $D=2{\infty }_{+}+{\infty }_{-}$ に対して
$$L(D)=\{h\mid h\text{ は }X\text{ 上の有理型関数で }\mathrm{div}(h)+D\ge 0\}\cup \{0\}$$
とおき、$\ell (D)={\dim }_{\mathbb{C}}L(D)$ とする。$\ell (D)$ を求めよ。

$X$ を、アフィン曲線
$$y^2=x^7-x$$
の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面とする。$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 $2$ の正則写像で、$x=\infty$ の上にはただ 1 点 ${\infty }_X$ がある。また $P_0$ を $(x,y)=(0,0)$ に対応する $X$ の点とする。

因子 $D$ に対して
$$L(D)=\{f\in \mathbb{C}(X{)}^{\times }\mid \mathrm{div}(f)+D\ge 0\}\cup \{0\},\ell (D)={\dim }_{\mathbb{C}}L(D)$$
と定める。因子
$$D=2{\infty }_X+2P_0$$
について、$\ell (D)$ を求めよ。

$X$ を、アフィン曲線
$$y^2=x^8-1$$
の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面とする。$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 $2$ の正則写像で、$x=\infty$ の上には相異なる 2 点 ${\infty }_{+},{\infty }_{-}$ がある。また $W=(1,0)\in X$ とする。

因子 $D=2W+{\infty }_{+}+{\infty }_{-}$ に対し、
$$L(D)=\{h\in \mathbb{C}(X{)}^{\times }\mid \mathrm{div}(h)+D\ge 0\}\cup \{0\}$$
とおく。複素ベクトル空間 $L(D)$ の次元 $\ell (D)$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}^2$ の斉次座標を $[X:Y:Z]$ とし、クライン四次曲線
$$C=\{[X:Y:Z]\in {\mathbb{P}}^2\mid X^{3}Y+Y^{3}Z+Z^{3}X=0\}$$
を考える。$C$ は非特異であることを用いてよい。$C$ をコンパクトリーマン面とみなす。$C$ 上の 3 点を
$$P=[1:0:0],Q=[0:1:0],R=[0:0:1]$$
とおく。$C$ 上の因子 $D$ に対して
$$L(D)=\{f\mid f\text{ は }C\text{ 上の有理型関数で }\mathrm{div}(f)+D\ge 0\}\cup \{0\},\ell (D)={\dim }_{\mathbb{C}}L(D)$$
と定める。
$$(\ell (P+2Q),\ell (P+2R),\ell (3P+R))$$
をこの順に求めよ。

複素アフィン平面曲線
$$y^3=x(x-1)$$
を考える。多項式 $F(x,y)=y^3-x^2+x$ は $\mathbb{C}[x,y]$ で既約であり、この曲線の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面を $X$ とする。座標関数 $x$ が定める正則写像 $x:X\to {\mathbb{P}}^1$（次数 $3$）について、点 $p\in X$ における分岐指数を $e_p$ とする。総和
$$\sum _{p\in X}(e_p-1)$$
を求めよ。