代数幾何の問題

有限体 ${\mathbb{F}}_{11}$ 上の楕円曲線 $$E:y^2=x^3-4x$$ を考える。$E$ の ${\mathbb{F}}_{11}$ 有理点全体 $E({\mathbb{F}}_{11})$（無限遠点 $O$ を含む）は、点の加法によりアーベル群をなし、その位数は $\#E({\mathbb{F}}_{11})=12$ であることが知られている。$E({\mathbb{F}}_{11})$ の元のうち、位数がちょうど $6$ であるものの個数を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $5$ 次曲線
$$C:Y^2{Z}^3=X(X-Z{)}^2(X+Z)(X-2Z)$$
を考える。$C$ は既約である。$C$ の幾何種数（$C$ の正規化であるコンパクトリーマン面の種数）を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上の楕円曲線 $$E:y^2=x^3-x$$ を考え、$E({\mathbb{F}}_q)$ を $E$ の射影閉包の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体（無限遠点 $O$ を単位元とするアーベル群）とする。$\#E({\mathbb{F}}_7)=8$ であることがわかっている。$E({\mathbb{F}}_{49})$ の元のうち、位数がちょうど $8$ であるものの個数を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $2$ 次曲線 $Q$ と $3$ 次曲線 $D$ を
$$Q:YZ-X^2=0,D:Y{Z}^2-X^3=0$$
で定める。$Q$ と $D$ の無限遠点 $P_{\infty }=[0:1:0]$ における局所交点数 $I_{P_{\infty }}(Q,D)$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_{11}$ を元の個数 $11$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_{11}$ 上のアフィン平面曲線
$$C_0:xy=3$$
を考え、その射影閉包を $C\subset {\mathbb{P}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$、アフィン平面は $Z\ne 0$ の部分 $x=X/Z,y=Y/Z$ と同一視する）とする。$C$ の ${\mathbb{F}}_{11}$ 有理点の個数 $\#C({\mathbb{F}}_{11})$ を求めよ。