代数幾何の問題

手順 1: 斉次化して射影閉包を作る。 $f(x,y)=xy-3$ は $2$ 次式なので、$x=X/Z,y=Y/Z$ を代入して $Z^2$ を掛けると
$$F(X,Y,Z)=XY-3Z^2$$
となる。射影閉包は $C:XY=3Z^2$ である。

手順 2: $C({\mathbb{F}}_{11})$ をアフィン部分（$Z\ne 0$）と無限遠点（$Z=0$）に分ける。 ${\mathbb{P}}^2({\mathbb{F}}_{11})$ の点は $Z\ne 0$ の点（$Z=1$ と正規化でき、アフィン平面 ${\mathbb{F}}_{11}^2$ の点と 1 対 1）と $Z=0$ の点（直線 $Z=0$ 上の $11+1=12$ 個）に分かれる。

手順 3: アフィン部分を数える。 $Z=1$ とすると $xy=3$ である。$3\ne 0$ なので $x\ne 0$ であり、$x\in {\mathbb{F}}_{11}^{\times }$ の各値に対して $y=3x^{-1}$ がただ 1 つ決まる。逆に $x=0$ では $0=3$ となり解はない。よってアフィン部分の点は $\#{\mathbb{F}}_{11}^{\times }=10$ 個。

手順 4: 無限遠点を求める。 $Z=0$ を $F=0$ に代入すると $XY=0$。$[X:Y:0]$ で $(X,Y)\ne (0,0)$ だから、$X=0$ のとき点 $[0:1:0]$、$Y=0$ のとき点 $[1:0:0]$ の $2$ 個である（これは双曲線の $2$ 本の漸近線 $x=0,y=0$ の方向に対応する）。

手順 5: 合計する。
$$\#C({\mathbb{F}}_{11})=10+2=12.$$

アフィン部分 $C_0:xy=3$ の ${\mathbb{F}}_{11}$ 有理点を数える。$3\ne 0$ なので $x\ne 0$ であり、$x\in {\mathbb{F}}_{11}^{\times }$ を任意に選ぶと $y=3x^{-1}$ が一意に定まる。よって $\#C_0({\mathbb{F}}_{11})=10$。

射影閉包は斉次化して $XY=3Z^2$。無限遠点は $Z=0$ より $XY=0$ なので、$[1:0:0]$ と $[0:1:0]$ の 2 点。

合計 $10+2=12$。

検算: $XY=3Z^2$ は非特異な円錐曲線で ${\mathbb{P}}^1$ と同型なので、有理点数は $11+1=12$ となり一致する。