代数幾何の問題

方針. $E:y^2=x^3-x$ は $\mathbb{Z}[i]$ による CM をもつ楕円曲線なので、$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ のとき $p=a^2+b^2$（$a$ 奇数、$b$ 偶数）と書けば
$$\#E({\mathbb{F}}_p)=p+1-2a$$
であり、$a$ の符号は $a+b\equiv 1(\mathrm{mod}4)$（同値な条件として $\#E({\mathbb{F}}_p)\equiv 0(\mathrm{mod}8)$）となるように選ぶ。

手順 1（$p\mathrm{mod}4$ の判定）. $233=4\cdot 58+1$ なので $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ である。よって $E$ は超特異ではなく、$p$ を 2 つの平方数の和に書く。

手順 2（$p=a^2+b^2$ の分解）. $233-b^2$ が奇数の平方になる偶数 $b$ を探す。
$$233-2^2=229,233-4^2=217,233-6^2=197,233-8^2=169=13^2$$
よって $233=13^2+8^2$ で、$|a|=13$, $b=8$ である。

手順 3（$a$ の符号の決定）. $a+b\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ となる符号を選ぶ。
- $a=13$ のとき $a+b=21\equiv 1(\mathrm{mod}4)$
- $a=-13$ のとき $a+b=-5\equiv 3(\mathrm{mod}4)$

よって $a=13$ である。

手順 4（点の数）.
$$\#E({\mathbb{F}}_{233})=233+1-2\cdot 13=208$$

検算. $208=8\cdot 26$ なので $\#E\equiv 0(\mathrm{mod}8)$ を満たす（$a=-13$ なら $260\equiv 4(\mathrm{mod}8)$ となり条件に反する）。また $|2a|=26\le 2\sqrt{233}\approx 30.5$ でハッセの評価も満たす。

したがって $\#E({\mathbb{F}}_{233})=208$ である。

$p=233\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ で、$233=13^2+8^2$。$E:y^2=x^3-x$ は虚数乗法をもち、$\#E({\mathbb{F}}_p)=p+1-t$ のトレース $t$ は $t=\pm 2\cdot 13=\pm 26$ に限られる。よって $\#E=234\mp 26$ すなわち $208$ または $260$。\n\nここで $E:y^2=x(x-1)(x+1)$ は ${\mathbb{F}}_p$ 上で 2 torsion 点がすべて有理的。点 $P$ で $2P=(e_1,0)$ となるものが有理的に存在する条件は、$e_1-e_2,e_1-e_3$ がともに平方であること。$e_1=0$ のとき $-1$ と $1$ で、$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ より $-1$ は平方なので条件を満たす。$e_1=1$ のとき $1,2$ で、$p=233\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ より $2$ は平方。$e_1=-1$ のとき $-1,-2$ も平方。したがって 4 torsion 点がすべて有理的で $E[4]\subset E({\mathbb{F}}_p)$、$16\mid \#E({\mathbb{F}}_p)$。$260$ は 16 で割れず、$208=16\cdot 13$ は割れる。ゆえに $\#E({\mathbb{F}}_p)=208$（トレース $t=26$）。\n\n検算: $208=234-26$、ハッセの範囲 $|t|\le 2\sqrt{233}\approx 30.5$ を満たす。