超特異曲線と CM をもつ楕円曲線の点の数

$y^{2} = x^{3} - x$ の $# E (F_{p})$ を大きな $p$ でも求められる。 $p \equiv 3 (mod 4)$ なら $p + 1$ である。 $p \equiv 1 (mod 4)$ なら、 $p = a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 奇数、 $b$ 偶数）と書いて $p + 1 - 2 a$ となる。 $a$ の符号は、 $# E (F_{p}) \equiv 0 (mod 8)$ となるように選ぶ（同値な条件は $a + b \equiv 1 (mod 4)$ ）。例: $p = 1009 = 1 5^{2} + 2 8^{2}$ で $a = - 15$ , $# E = 1040$ 。また $y^{2} = x^{3} + c$ が $p \equiv 2 (mod 3)$ のとき $p + 1$ 個の点をもつこと（超特異性）を判定できる

前提

ガウス整数の素元分解と剰余環（大学数学代数学）
楕円曲線の有理点群の構造（大学院数学代数幾何）

この技能までの道筋（64 技能）

算数中学高校大学大学院

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約数の見つけ方（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
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最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
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四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
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分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
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文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
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積の法則と和の法則（算数場合の数）
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群の位数と元の位数（大学数学代数学）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
整式の除法（数学II 複素数と方程式）
剰余環のイデアルと単元の個数（大学数学代数学）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
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平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
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複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
ガウス整数の素元分解と剰余環（大学数学代数学）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
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対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
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三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
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行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
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ユークリッドの互除法（数学A 整数の性質）
1 次不定方程式の整数解（数学A 整数の性質）
法 $m$ での逆元（拡張ユークリッドの互除法）（大学数学暗号理論）
有限体上の楕円曲線の点の加算（大学数学暗号理論）
楕円曲線の有理点群の構造（大学院数学代数幾何）

説明

楕円曲線 $E : y^{2} = x^{3} - x$ の $F_{p}$ 有理点の個数 $# E (F_{p})$ （無限遠点 $O$ を含む、 $p$ は奇素数）を、 $x$ を $p$ 通り試すことなく、 $p$ を 2 つの平方の和に書くだけで求める技能です。 $p \equiv 3 (mod 4)$ なら $# E (F_{p}) = p + 1$ 、 $p \equiv 1 (mod 4)$ なら $p = a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 奇数、 $b$ 偶数）として $# E (F_{p}) = p + 1 - 2 a$ で、 $a$ の符号は $# E \equiv 0 (mod 8)$ （同値な条件は $a + b \equiv 1 (mod 4)$ ）で決めます。同じ考え方で、 $c \neq = 0$ で $p \geq 5$ , $p \equiv 2 (mod 3)$ のとき $y^{2} = x^{3} + c$ が $p + 1$ 個の点をもつこと（ $p \geq 5$ の素数について、 $F_{p}$ 上の点の個数がちょうど $p + 1$ になる楕円曲線を超特異曲線とよびます）も判定できます。

なぜそうしてよいのか

$p \equiv 3 (mod 4)$ の場合（数え上げで直接示せる）: $f (x) = x^{3} - x$ は $f (- x) = - f (x)$ を満たします。 $p \equiv 3 (mod 4)$ では $- 1$ が平方非剰余なので、 $f (x) \neq = 0$ なら $f (x)$ と $f (- x) = - f (x)$ のちょうど一方だけが 0 でない平方です。よって $f (x) \neq = 0$ となる $x$ の組 ${x, - x}$ からは合わせてちょうど 2 点が出ます。 $f (x) = 0$ となる $x = 0, \pm 1$ から 3 点、残りの $p - 3$ 個の $x$ が $\frac{p - 3}{2}$ 組を作って $p - 3$ 点、これに $O$ を加えて $# E = 3 + (p - 3) + 1 = p + 1$ です。 $y^{2} = x^{3} + c$ （ $c \neq = 0$ 、 $p \geq 5$ で $p \equiv 2 (mod 3)$ ）でも同様です。 $p \geq 5$ なら判別式 $- 432 c^{2} \neq = 0$ でこの曲線は非特異（ $p = 2, 3$ では特異になるので除く）。 $g cd (3, p - 1) = 1$ なので $x \mapsto x^{3}$ は $F_{p}$ の全単射、したがって $u = x^{3} + c$ は $F_{p}$ の各値をちょうど 1 回ずつとります。 $u = 0$ から 1 点、 $u$ が 0 でない平方（ $\frac{p - 1}{2}$ 個）から 2 点ずつ、非平方からは 0 点なので、 $O$ を加えて $1 + (p - 1) + 1 = p + 1$ です。\n\n $p \equiv 1 (mod 4)$ の場合（ガウス整数が現れる理由）: このとき $F_{p}$ に $i^{2} = - 1$ となる $i$ があり、写像 $[i] : (x, y) \mapsto (- x, i y)$ は $E$ をそれ自身に移します（ $(i y)^{2} = - y^{2} = (- x)^{3} - (- x)$ ）。 $[i]$ を 2 回行うと $(x, y) \mapsto (x, - y)$ 、つまり点の $- 1$ 倍なので、 $m + n [i]$ （ $m, n \in Z$ ）が $E$ の点に作用し、 $E$ はガウス整数 $Z [i]$ を「掛け算」としてもちます（ $E$ が虚数乗法（CM）をもつ、といいます）。ここから先は、前提の技能にない楕円曲線の一般論から次の 3 つの事実を借ります。(A) 座標を $p$ 乗するフロベニウス写像 $ϕ : (x, y) \mapsto (x^{p}, y^{p})$ は（ $i^{p} = i$ より $[i]$ と可換で）この作用のある元 $π \in Z [i]$ と一致する（ $E$ の自己準同型環が $Z [i]$ であることによる）。(B) 元 $α \in Z [i]$ の作用の次数は $N (α)$ で、 $ϕ$ の次数は $p$ なので $N (π) = p$ 。(C) $π - 1$ は分離的なので、その核の点の個数は次数に等しく $# ker (π - 1) = N (π - 1)$ 。 $E (F_{p})$ はちょうど $ϕ (P) = P$ 、すなわち $(π - 1) P = O$ となる点の集合なので、\n $# E (F_{p}) = N (π - 1) .$ \n $N (π) = p$ なので、ガウス整数の素元分解の技能から $π$ は $p = a^{2} + b^{2}$ を与える 8 個の元 $\pm a \pm bi, \pm b \pm ai$ のどれかです。 $π = a + bi$ と書くと $# E = (a - 1)^{2} + b^{2} = p + 1 - 2 a$ 。ここで $E$ は 2 等分点 $(0, 0), (\pm 1, 0)$ をすべてもつので $E [2] ≅ (Z /2)^{2}$ は $E (F_{p})$ の部分群で、 $4 ∣ # E$ です。もし実部 $a$ が偶数（したがって $p$ が奇数なので $b$ は奇数）なら $(a - 1)^{2} + b^{2} \equiv 1 + 1 = 2 (mod 4)$ となり矛盾します。よって 8 個の候補のうち実部が奇数のもの、つまり $a$ を奇数・ $b$ を偶数にとり、残る自由度は $a$ の符号だけです（ $b$ の符号は $# E$ に影響しない）。\n\n符号の決め方（ $8 ∣ # E$ ）: $P = (i, i - 1)$ は $(i - 1)^{2} = - 2 i = i^{3} - i$ より $E$ 上の点で、 $P$ での接線の傾きは $\frac{3 i ^{2} - 1}{2 ( i - 1 )} = \frac{- 2}{i - 1} = 1 + i$ 、接線 $y = (1 + i) x$ は原点を通るので $2 P = (0, 0)$ 、つまり $P$ は位数 4 の点です。 $P$ が生成する部分群 ${O, P, (0, 0), - P}$ に $(1, 0)$ は入らないので、 $P$ と $(1, 0)$ で位数 8 の部分群ができ、 $8 ∣ # E$ です。一方 $a$ を $- a$ に変えると $# E$ は $4 a$ だけ変わり、 $a$ が奇数なので $4 a \equiv 4 (mod 8)$ です。したがって $p + 1 - 2 a$ と $p + 1 + 2 a$ のうち 8 で割り切れるのはちょうど一方で、それが答えです。この条件を書き直すと、 $a - 1 = 2 s$ , $b = 2 t$ とおいて $(a - 1)^{2} + b^{2} = 4 (s^{2} + t^{2})$ が 8 の倍数 $⟺ s^{2} + t^{2}$ が偶数 $⟺ s \equiv t (mod 2)$ 。一方 $a + b = 1 + 2 (s + t)$ なので $a + b \equiv 1 (mod 4) ⟺ s + t$ が偶数 $⟺ s \equiv t (mod 2)$ 。よって $8 ∣ # E ⟺ a + b \equiv 1 (mod 4)$ です。

手順

$p mod 4$ を調べる（ $p$ は奇素数）。 $p \equiv 3 (mod 4)$ なら $# E (F_{p}) = p + 1$ で終わり。
$p \equiv 1 (mod 4)$ なら $p = a^{2} + b^{2}$ を満たす整数を見つけ、 $a$ を奇数、 $b$ を偶数にとる（ $b^{2} = p - a^{2}$ が平方になる奇数 $a$ を $∣ a ∣ < p$ の範囲で探す）。
$a$ の符号を $a + b \equiv 1 (mod 4)$ となるように決める（ $b \equiv 0 (mod 4)$ なら $a \equiv 1 (mod 4)$ 、 $b \equiv 2 (mod 4)$ なら $a \equiv 3 (mod 4)$ 。 $b$ は偶数なので $b$ の符号はこの条件に影響しない）。
$# E (F_{p}) = p + 1 - 2 a$ を計算し、 $8$ で割り切れることで検算する。
$y^{2} = x^{3} + c$ （ $c \neq = 0$ ）なら、 $p$ が $p \geq 5$ の素数で $p \equiv 2 (mod 3)$ であることを確かめて $# E (F_{p}) = p + 1$ （超特異）とする。

例題

素数 $p = 113$ に対して、楕円曲線 $E : y^{2} = x^{3} - x$ の $F_{113}$ 有理点の個数 $# E (F_{113})$ （無限遠点を含む）を求めよ。

例題の解答

手順 1: $113 = 4 \cdot 28 + 1$ なので $p \equiv 1 (mod 4)$ 。\n\n手順 2: 奇数 $a$ について $113 - a^{2}$ を調べると、 $a = 1, 3, 5$ で $112, 104, 88$ （平方でない）、 $a = 7$ で $113 - 49 = 64 = 8^{2}$ 。よって $113 = 7^{2} + 8^{2}$ で、 $∣ a ∣ = 7$ （奇数）、 $b = 8$ （偶数）。\n\n手順 3: $b = 8 \equiv 0 (mod 4)$ なので $a \equiv 1 (mod 4)$ となる符号を選ぶ。 $7 \equiv 3$ , $- 7 \equiv 1 (mod 4)$ なので $a = - 7$ （ $a + b = 1 \equiv 1 (mod 4)$ ）。\n\n手順 4:\n $# E (F_{113}) = p + 1 - 2 a = 114 + 14 = 128.$ \n検算: $128 = 8 \cdot 16$ で $8$ の倍数。逆の符号なら $114 - 14 = 100 \equiv 4 (mod 8)$ となり条件に合わない。

答え: $128$

よくある誤り

$a$ と $b$ の役割を取り違え、偶数の方を $a$ にして $p + 1 - 2 a$ を計算してしまう誤り。 $113 = 7^{2} + 8^{2}$ で $a = 8$ とすると $114 - 16 = 98 \equiv 2 (mod 4)$ となり、 $4 ∣ # E$ （2 等分点が 4 個）に反する。正しくは $a$ は奇数で、 $a = - 7$ から $128$ 。
$a$ の符号をつねに正にとってしまう誤り。 $p = 113$ で $a = 7$ とすると $114 - 14 = 100$ になるが $100 \equiv 4 (mod 8)$ で $8 ∣ # E$ に反する。正しくは $a + b \equiv 1 (mod 4)$ で符号を決め、 $a = - 7$ , $# E = 128$ 。
無限遠点 $O$ を数え忘れて、 $p \equiv 3 (mod 4)$ のとき $# E = p$ としてしまう誤り。アフィン部分の点は $p$ 個で、正しくは $O$ を加えて $p + 1$ 。たとえば $p = 7$ で $# E (F_{7}) = 8$ 。
$y^{2} = x^{3} + c$ でも $p \equiv 3 (mod 4)$ を超特異の条件にしてしまう誤り。 $x^{3} + c$ では $x \mapsto x^{3}$ が全単射になることが鍵なので、正しくは $p \geq 5$ かつ $p \equiv 2 (mod 3)$ （かつ $c \neq = 0$ ）で $# E = p + 1$ 。たとえば $p = 7 \equiv 3 (mod 4)$ でも $7 \equiv 1 (mod 3)$ なので $y^{2} = x^{3} + 1$ はこの結論の対象外（実際 $# E (F_{7}) = 12$ ）。また $p = 2$ は $2 \equiv 2 (mod 3)$ だが $y^{2} = x^{3} + c$ が特異になるので除く。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$p = 233$ とする（ $p$ は素数である）。有限体 $F_{p}$ 上の楕円曲線
$E : y^{2} = x^{3} - x$
について、無限遠点 $O$ を含めた $F_{p}$ 有理点の個数 $# E (F_{p})$ を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
$p = 1009$ とする（ $p$ は素数である）。有限体 $F_{p}$ 上の楕円曲線
$E : y^{2} = x^{3} - x$
について、 $E$ の $F_{p}$ 有理点全体 $E (F_{p})$ の個数（無限遠点 $O$ を含む）を求めよ。