ガウス整数の素元分解と剰余環

ノルムと素元分解の土台。 $N(\alpha )=\alpha \bar{\alpha }=a^2+b^2$ は $N(\alpha \beta )=N(\alpha )N(\beta )$ を満たします。$N(u)=1$ となる元、つまり単元は $\pm 1,\pm i$ の 4 つだけです。単元倍の関係にある 2 元を同伴といいます。$\mathbb{Z}[i]$ では余り付きの割り算ができます。$\alpha /\beta$ を最も近い格子点 $q$ で近似すると、$N(\alpha -q\beta )\le \frac{1}{2}N(\beta )<N(\beta )$ となるからです。このため $\mathbb{Z}$ と同じく、すべてのイデアルは 1 つの元で生成されます（単項イデアル整域、PID）。PID では、既約元（単元でなく、非単元 2 つの積に分けられない元）は素元です。つまり $\pi \mid \alpha \beta$ ならば $\pi \mid \alpha$ または $\pi \mid \beta$ となります。さらに素元分解は、単元倍と順序を除いて一意です。特に、ノルムが素数である元は既約です。実際、$\pi =\gamma \delta$ とすると $N(\gamma )N(\delta )$ は素数なので、一方のノルムが 1、つまり単元になります。したがって素元です。

$\mathbb{Z}[i]/(n)$ のイデアルは、$(n)$ を含むイデアル $(\delta )$ と 1 対 1 に対応します。$(\delta )\supset (n)$ は $\delta \mid n$ と同じことなので、これは $n$ の約元 $\delta$（同伴なものは同一視）と 1 対 1 に対応します。素元 $\pi$ については、$(\pi )$ を含むイデアルは $(1)$ か $(\pi )$ だけです。よって $(\pi )$ は極大イデアルで、$\mathbb{Z}[i]/(\pi )$ は体になります。

素数の分解。
- $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ のとき：${\mathbb{F}}_p^{\times }$ は位数 $p-1$ の巡回群で、$4\mid p-1$ なので位数 4 の元 $m$ をもちます。$m^2\equiv -1$ なので $p\mid m^2+1=(m+i)(m-i)$ です。ところが $p$ は $m\pm i$ のどちらも割り切りません（商の虚部が $\pm 1/p$ になり、整数でない）。よって $p$ は素元ではありません。PID では素元と既約元は同じなので、$p$ は既約でもなく、非単元の積 $p=\alpha \beta$ に分かれます。すると $N(\alpha )N(\beta )=N(p)=p^2$ で、どちらのノルムも 1 ではないので $N(\alpha )=N(\beta )=p$ です。$\pi =\alpha$ とおくと、$\pi \bar{\pi }=N(\pi )=p=\pi \beta$ より $\beta =\bar{\pi }$ となり、$p=\pi \bar{\pi }$ です。$N(\pi )=N(\bar{\pi })=p$ は素数なので、$\pi ,\bar{\pi }$ はどちらも素元です。
- $\pi$ と $\bar{\pi }$ は同伴ではありません。$\pi =a+bi$ として $\bar{\pi }=u\pi$（$u=\pm 1,\pm i$）と仮定し、$u$ ごとに調べます。
- $u=1$ なら $b=0$ で、$p=a^2$ となります。
- $u=-1$ なら $a=0$ で、$p=b^2$ となります。
- $u=i$ なら $a-bi=-b+ai$ より $a=-b$ で、$p=2a^2$ となります。
- $u=-i$ なら $a-bi=b-ai$ より $a=b$ で、$p=2a^2$ となります。
- $p$ は奇素数なので、どれも矛盾です。
- 例: $5=(2+i)(2-i)$。
- $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ のとき：$a^2+b^2$ を 4 で割った余りは $0,1,2$ のどれかで、3 にはなりません。よってノルムが $p$ の元はありません。もし $p=\alpha \beta$（どちらも非単元）と分かれたら、上と同じ議論で $N(\alpha )=p$ となり矛盾します。したがって $p$ は既約、すなわち素元のままです（$N(p)=p^2$）。
- $p=2$ のとき：$(1+i{)}^2=2i$ より $2=-i(1+i{)}^2$ です。$N(1+i)=2$ なので $1+i$ は素元です。また $1-i=-i(1+i)$ なので、2 を割る素元は同伴を除いて $1+i$ の 1 種類だけです。

元の個数がノルムになる理由。 整数 $n$ については、$a,b$ を $n$ で割った余りで代表元を選べるので、$|\mathbb{Z}[i]/(n)|=n^2=N(n)$ です。一般の $\alpha \ne 0$ について $N=N(\alpha )$ とおくと、$(N)\subset (\alpha )$ から
$$|\mathbb{Z}[i]/(N)|=|\mathbb{Z}[i]/(\alpha )|\cdot |(\alpha )/(N)|$$
が成り立ちます。写像 $x\mapsto \alpha x$ を考えると、その核は $\{x\mid \alpha \bar{\alpha }\mid \alpha x\}=(\bar{\alpha })$ です。したがって $(\alpha )/(\alpha \bar{\alpha })\cong \mathbb{Z}[i]/(\bar{\alpha })$ で、さらに複素共役で $\mathbb{Z}[i]/(\bar{\alpha })\cong \mathbb{Z}[i]/(\alpha )$ です。よって $|\mathbb{Z}[i]/(\alpha ){|}^2=N^2$、つまり $|\mathbb{Z}[i]/(\alpha )|=N(\alpha )$ となります。

単元の個数。 素元 $\pi$ と $e\ge 1$ に対し、$\mathbb{Z}[i]/({\pi }^e)$ の単元を数えます。
- $\pi \nmid x$ なら $x$ と ${\pi }^e$ の公約元は単元だけです。PID なので $xy+{\pi }^{e}z=1$ となる $y,z$ があり、$x$ は単元です。
- $\pi \mid x$ なら $x$ は単元ではありません。
- 非単元全体 $(\pi )/({\pi }^e)$ の個数は $N(\pi {)}^e/N(\pi )=N(\pi {)}^{e-1}$ です。

よって単元は $N(\pi {)}^e-N(\pi {)}^{e-1}$ 個です。これは前提の技能の $p^{de}-p^{d(e-1)}$ と同じ形です。