代数学の問題

方針 $\mathbb{Z}[i]$ は単項イデアル整域なので、$R=\mathbb{Z}[i]/(15)$ のイデアルは、$(15)$ を含む $\mathbb{Z}[i]$ のイデアル $(d)$ と 1 対 1 に対応する。$(d)\supset (15)$ は $d\mid 15$ と同じことである。したがって、$15$ の約元を単元倍（$\pm 1,\pm i$ 倍）の違いを同一視して数えればよい。

ステップ 1: 有理素数への分解 $15=3\cdot 5$ である。

ステップ 2: 各素数の $\mathbb{Z}[i]$ での分解
- $3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので、$3$ は $\mathbb{Z}[i]$ で素元のままである（$a^2+b^2=3$ となる整数 $a,b$ は存在しない）。
- $5\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので、$5$ は 2 つの素元の積になる。$5=2^2+1^2$ より $$5=(2+i)(2-i)$$ である。$N(2\pm i)=2^2+1^2=5$ は素数なので、$2+i$ と $2-i$ はどちらも素元である。
- $2+i$ と $2-i$ は同伴でない。実際、$\frac{2+i}{2-i}=\frac{(2+i{)}^2}{5}=\frac{3+4i}{5}$ は $\mathbb{Z}[i]$ の元ではない。

よって、$15$ の素元分解は $$15=3(2+i)(2-i)$$ であり、3 つの素元は互いに同伴でない。

ステップ 3: 約元を数える $15$ の約元は、単元倍を除いて $$3^a(2+i{)}^b(2-i{)}^c(a,b,c\in \{0,1\})$$ の形に表される。指数の選び方は積の法則により $2\times 2\times 2=8$ 通りである。

これらは $d=1$（$R$ 自身に対応）から $d=15$（零イデアルに対応）までを含む。したがって、$R$ のイデアルの個数は $8$ である。

$\mathbb{Z}[i]$ はPID（ユークリッド整域）なので、$R=\mathbb{Z}[i]/(15)$ のイデアルは、$(15)$ を含む $\mathbb{Z}[i]$ のイデアル $(d)$、つまり $d\mid 15$ となる $d$ と一対一に対応する。ただし $d$ は単数倍を同一視する。

$15=3\cdot 5$ を $\mathbb{Z}[i]$ で素因数分解する。
- $3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので、3 は $\mathbb{Z}[i]$ で素元のまま（惰性）。
- $5=(2+i)(2-i)$ で、$2+i$ と $2-i$ は互いに同伴でない素元。

よって $15=3(2+i)(2-i)$ であり、3 つの素元はどの 2 つも同伴でない。

約数は単数倍を除いて $3^a(2+i{)}^b(2-i{)}^c$（$a,b,c\in \{0,1\}$）の形なので、$2^3=8$ 個。

検算：中国剰余定理より $R\cong \mathbb{Z}[i]/(3)\times \mathbb{Z}[i]/(2+i)\times \mathbb{Z}[i]/(2-i)\cong {\mathbb{F}}_9\times {\mathbb{F}}_5\times {\mathbb{F}}_5$。体 3 つの直積であり、体のイデアルは 2 個ずつなので、イデアルの個数は $2^3=8$。両方の方法で一致する。