代数学の問題

$12$ の素元分解

$\mathbb{Z}[i]$ はユークリッド整域なので単項イデアル整域かつ一意分解整域である。$(1+i{)}^2=2i$ より $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$ であるから
$$12=-3(1+i{)}^4.$$
ここで $1+i$ はノルム $2$ の素元である。また $3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので $3$ は $\mathbb{Z}[i]$ で素元のまま（$a^2+b^2=3$ となる整数 $a,b$ は存在しない）で、ノルムは $9$ である。$-1$ は単元なので $(12)=(1+i{)}^4(3)$。

中国剰余定理による分解

$(1+i{)}^4$ と $3$ は互いに素なので
$$R\cong \mathbb{Z}[i]/((1+i{)}^4)\times \mathbb{Z}[i]/(3).$$
位数は $|\mathbb{Z}[i]/(\alpha )|=N(\alpha )$ より、それぞれ $N((1+i{)}^4)=16$、$N(3)=9$ で、確かに $16\cdot 9=144=N(12)$ である。

単元の個数

$\mathbb{Z}[i]/(3)$ は $(3)$ が極大イデアルなので位数 $9$ の体であり、単元は $8$ 個。

$\mathbb{Z}[i]/((1+i{)}^4)$ は局所環で、唯一の極大イデアルは $(1+i)/((1+i{)}^4)$ である。その位数は $|\mathbb{Z}[i]/((1+i{)}^4)|/|\mathbb{Z}[i]/(1+i)|=16/2=8$。単元は極大イデアルに属さない元なので $16-8=8$ 個。

直積の単元群は各成分の単元群の直積なので
$$u=8\times 8=64.$$

イデアルの個数

$R$ のイデアルは、$(12)$ を含む $\mathbb{Z}[i]$ のイデアルと一対一に対応する。$\mathbb{Z}[i]$ は単項イデアル整域なので、それらは $12$ の約数 $\delta$ による $(\delta )$ であり、単元倍を同一視すると
$$\delta =(1+i{)}^a{3}^b(0\le a\le 4,0\le b\le 1)$$
の形に限る。よって
$$t=5\times 2=10.$$

以上より $(u,t)=(64,10)$。

$12=4\cdot 3$ で $\gcd (4,3)=1$ なので、中国剰余定理より $R\cong \mathbb{Z}[i]/(4)\times \mathbb{Z}[i]/(3)$。

(1) $\mathbb{Z}[i]/(3)$: 3 は $3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ の素数なので $\mathbb{Z}[i]$ で素元（既約）のままであり、剰余環は位数 9 の体 ${\mathbb{F}}_9$。単元は $9-1=8$ 個、イデアルは $(0)$ と全体の 2 個。

(2) $\mathbb{Z}[i]/(4)$: $2=-i(1+i{)}^2$ より $4=(\text{単元})\cdot (1+i{)}^4$。$\mathbb{Z}[i]$ は PID で $(1+i)$ は素イデアルなので、$\mathbb{Z}[i]/((1+i{)}^4)$ は位数 16 の局所環で、極大イデアル $(1+i)$（指数 2、剰余体 ${\mathbb{F}}_2$）をもつ。単元は極大イデアルに入らない元で、$16-8=8$ 個。イデアルは $(1+i{)}^k$ ($k=0,1,2,3,4$) の 5 個。

(3) 積環の単元は成分ごとの単元の組なので $u=8\times 8=64$。積環のイデアルは各成分のイデアルの組なので $t=5\times 2=10$。

検算: $|R|=144$。単元の個数は $|R|{\prod }_{\mathfrak{p}}(1-1/N\mathfrak{p})=144\cdot (1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{9})=144\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{8}{9}=64$。また 12 の分解は $(1+i{)}^4\cdot (3)$ で、イデアルは約数の個数 $(4+1)(1+1)=10$ 個。