代数学の問題

1. 中国剰余定理による分解

$12=4\cdot 3$ で、$(4)$ と $(3)$ は $\mathbb{Z}$ で互いに素なので、
$$R\cong (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]/(x^3-x)\times {\mathbb{F}}_3[x]/(x^3-x).$$

2. ${\mathbb{F}}_3$ 部分

${\mathbb{F}}_3[x]$ で $x^3-x=x(x-1)(x+1)$ である。3 つの因子の差 $1,1,2$ はいずれも単元なので、因子どうしは互いに素である。よって
$${\mathbb{F}}_3[x]/(x^3-x)\cong {\mathbb{F}}_3^3.$$
単元の個数は $2^3=8$、イデアルの個数は $2^3=8$ である（体のイデアルは $0$ と全体の 2 つ）。

3. $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 部分

$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]$ では $x\cdot x-(x^2-1)=1$ なので、$(x)$ と $(x^2-1)$ は互いに素である。互いに素なイデアルでは共通部分と積が一致するので $(x)\cap (x^2-1)=(x^3-x)$ となり、
$$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]/(x^3-x)\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times A,A=(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]/(x^2-1).$$

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ の単元は $1,3$ の $2$ 個、イデアルは $0,(2),\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ の $3$ 個である。

4. 環 $A$ の解析

$y=x+1$ とおくと $x^2-1=(y-1{)}^2-1=y^2-2y$ なので、
$$A=(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[y]/(y^2-2y)$$
である。$A$ の元は $a+by$（$a,b\in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$）と一意に表され、$|A|=16$、$y^2=2y$ が成り立つ。

• $\mathfrak{m}=(2,y)=\{a+by\mid a\text{ は偶数}\}$ とおくと $|\mathfrak{m}|=8$ である。
• ${\mathfrak{m}}^2$ は $2\cdot 2=0,2y,y\cdot y=2y$ で生成されるので ${\mathfrak{m}}^2=\{0,2y\}$ である。
• ${\mathfrak{m}}^3$ は $2\cdot 2y=0,y\cdot 2y=4y=0$ で生成されるので ${\mathfrak{m}}^3=0$ である。
• よって $\mathfrak{m}$ はべき零である。$a$ が奇数なら $a+by=a(1+a^{-1}by)$ は「単元 $\times$（$1$ + べき零元）」なので単元になる。
• したがって $A$ は $\mathfrak{m}$ を唯一の極大イデアルとする局所環であり、単元の個数は $16-8=8$ である。

$A$ のイデアルの数え上げ

(i) 零化イデアルの計算：$z=a+by\in \mathfrak{m}$（$a$ は偶数）とする。
- $2z=2by$ なので、$2z=0$ となるのは $b$ が偶数のときである。
- $yz=(a+2b)y$ なので、$b$ が偶数のとき $yz=0$ となるのは $a=0$ のときである。

よって $\mathrm{Ann}(\mathfrak{m})=\{0,2y\}={\mathfrak{m}}^2$ である。

(ii) 非零イデアルは ${\mathfrak{m}}^2$ を含む：$0\ne I\subset \mathfrak{m}$ とし、$0\ne z\in I$ をとる。
- $z\in \mathrm{Ann}(\mathfrak{m})$ なら $z=2y$ である。
- そうでなければ、$\mathfrak{m}z\subset {\mathfrak{m}}^2$ に $0$ でない元があり、それは $2y$ である。

いずれの場合も $2y\in I$、つまり $I\supset {\mathfrak{m}}^2$ となる。

(iii) ${\mathfrak{m}}^2\subset I\subset \mathfrak{m}$ となるイデアル：このような $I$ は $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の ${\mathbb{F}}_2$ 部分空間と 1 対 1 に対応する。実際、$\mathfrak{m}I\subset {\mathfrak{m}}^2\subset I$ なので、どの部分空間の逆像もイデアルになる。${\dim }_{{\mathbb{F}}_2}\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2={\log }_2(8/2)=2$ なので、部分空間は $0$、直線 $3$ 本、全体の計 $5$ 個である。具体的には次の 5 つである。
- ${\mathfrak{m}}^2$
- $(2)=\{0,2,2y,2+2y\}$
- $(y)=\{0,y,2y,3y\}$
- $(y+2)=\{0,2+y,2y,2+3y\}$
- $\mathfrak{m}$

(iv) $\mathfrak{m}$ に含まれないイデアルは単元を含むので $A$ 自身である。

以上より、$A$ のイデアルは $0$、上の $5$ 個、$A$ の計 $7$ 個である。

5. まとめ

$R\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times A\times {\mathbb{F}}_3^3$ である。有限個の単位的環の直積では、単元群は各成分の単元群の直積になり、イデアルは各成分のイデアルの直積 $I_1\times I_2\times I_3$ に限る。よって
$$u=2\cdot 8\cdot 8=128,t=3\cdot 7\cdot 8=168.$$

答え：$(u,t)=(128,168)$

$12=4\cdot 3$ と中国剰余定理より $R\cong A\times B$。ただし $A=(\mathbb{Z}/4)[x]/(x^3-x)$、$B={\mathbb{F}}_3[x]/(x^3-x)$。

$B$ について。 ${\mathbb{F}}_3$ 上で $x^3-x=x(x-1)(x+1)$ は相異なる 1 次式の積なので、$B\cong {\mathbb{F}}_3^3$。単元は $2^3=8$ 個、イデアルは $2^3=8$ 個。

$A$ について。 $x^3-x=x(x^2-1)$ で、$x\cdot x-(x^2-1)=1$ より $(x)+(x^2-1)=(1)$。よって $A\cong \mathbb{Z}/4\times C$、$C=(\mathbb{Z}/4)[x]/(x^2-1)$。

• $\mathbb{Z}/4$ の単元は 2 個、イデアルは 3 個。
• $C$ は $y=x-1$ とおくと $C=(\mathbb{Z}/4)[y]/(y^2+2y)$ で、位数 16。$C/2C={\mathbb{F}}_2[y]/(y^2)$ は局所環なので $C$ も局所環で、極大イデアルは $(2,y)$（8 元）。よって単元は $16-8=8$ 個。
• $C$ のイデアルを数える。$C$ の元は $a+by$ $(a,b\in \mathbb{Z}/4)$。$y^2=-2y=2y$ より $y\cdot (a+by)=(a+2b)y$。イデアルは $(\mathbb{Z}/4{)}^2$ の部分群 $H$ で、$(a,b)\in H\Rightarrow (0,a+2b)\in H$ を満たすもの。
• $(\mathbb{Z}/4{)}^2$ の部分群は 15 個ある。条件を満たすのは次の 7 個。
• $\{0\}$
• $⟨(0,2)⟩$
• $⟨(0,1)⟩$
• $⟨(2,1)⟩$
• $\{0,2{\}}^2$
• $\{a\text{ 偶数}\}$
• 全体
• 条件を満たさない部分群（$⟨(2,0)⟩$、$⟨(2,2)⟩$、$⟨(1,0)⟩$、$⟨(1,1)⟩$、$⟨(1,2)⟩$、$⟨(1,3)⟩$、$\{b\text{ 偶数}\}$、$\{a+b\text{ 偶数}\}$）は、それぞれ条件を破る元が見つかる。
• したがって $C$ のイデアルは 7 個。

集計。
- 単元の個数: $u=2\cdot 8\cdot 8=128$。
- イデアルの個数: $t=3\cdot 7\cdot 8=168$。

答え: $(128,168)$