代数学の問題

$g(x)=x^3-x-1$ とおく。

素因数ごとに分ける. $R\cong (\mathbb{Z}/30\mathbb{Z})[x]/(g)$ であり、$|R|=30^3=27000$。$30=2\cdot 3\cdot 5$ なので中国剰余定理より
$$R\cong {\mathbb{F}}_2[x]/(g)\times {\mathbb{F}}_3[x]/(g)\times {\mathbb{F}}_5[x]/(g).$$

各 ${\mathbb{F}}_p$ での分解. $3$ 次式は根をもたなければ既約である。
- $p=2$: $g(0)=-1\equiv 1$, $g(1)=-1\equiv 1$。根がないので既約で、${\mathbb{F}}_2[x]/(g)\cong {\mathbb{F}}_8$。
- $p=3$: $g(0)=-1\equiv 2$, $g(1)=-1\equiv 2$, $g(2)=5\equiv 2$。根がないので既約で、${\mathbb{F}}_3[x]/(g)\cong {\mathbb{F}}_{27}$。
- $p=5$: $g(2)=8-2-1=5\equiv 0$ なので $x-2$ で割り切れ、
$$g(x)\equiv (x-2)(x^2+2x+3)(\mathrm{mod}5)$$
（実際 $(x-2)(x^2+2x+3)=x^3-x-6\equiv x^3-x-1$）。$x^2+2x+3$ の判別式は $4-12=-8\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ で、${\mathbb{F}}_5$ の平方は $0,1,4$ のみなので $2$ は平方でなく、$x^2+2x+3$ は既約。また $x=2$ を代入すると $4+4+3=11\equiv 1\ne 0$ なので $x-2$ と $x^2+2x+3$ は互いに素。よって
$${\mathbb{F}}_5[x]/(g)\cong {\mathbb{F}}_5[x]/(x-2)\times {\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+2x+3)\cong {\mathbb{F}}_5\times {\mathbb{F}}_{25}.$$

以上より
$$R\cong {\mathbb{F}}_8\times {\mathbb{F}}_{27}\times {\mathbb{F}}_5\times {\mathbb{F}}_{25}$$
（位数の確認: $8\cdot 27\cdot 5\cdot 25=27000$）。

極大イデアルの個数. 体 $K_1,\dots ,K_r$ の直積 $K_1\times \cdots \times K_r$ のイデアルは各成分が $0$ か $K_j$ のものの直積で、極大イデアルはちょうど $1$ つの成分だけを $0$ にしたもの（$r$ 個）である。よって $m=4$。

単元の個数. 直積の単元は各成分が $0$ でない元の組なので
$$u=(8-1)(27-1)(5-1)(25-1)=7\cdot 26\cdot 4\cdot 24=17472.$$

以上より $(m,u)=(4,17472)$。

$R\cong {\mathbb{F}}_2[x]/(f)\times {\mathbb{F}}_3[x]/(f)\times {\mathbb{F}}_5[x]/(f)$, $f=x^3-x-1$。mod 2: 根なし（$f(0)=f(1)=1$）なので既約、${\mathbb{F}}_8$。mod 3: $f(0)=-1,f(1)=-1,f(2)=5\equiv 2$ で根なし、既約、${\mathbb{F}}_{27}$。mod 5: $f(2)=5\equiv 0$ で $f\equiv (x-2)(x^2+2x+3)$。2 次式の判別式 $4-12=-8\equiv 2$ は平方非剰余なので既約。また 2 は 2 次式の根でない。よって ${\mathbb{F}}_5\times {\mathbb{F}}_{25}$。$R$ は体 ${\mathbb{F}}_8,{\mathbb{F}}_{27},{\mathbb{F}}_5,{\mathbb{F}}_{25}$ の直積なので極大イデアルは 4 個、$m=4$。単元は $7\cdot 26\cdot 4\cdot 24=17472$。答えは $(4,17472)$。