代数学の問題

既約分解の確認. ${\mathbb{F}}_3$ の元の平方は $0^2=0,1^2=1,2^2=1$ なので $x^2+1=0$ は ${\mathbb{F}}_3$ に根をもたず、$2$ 次式 $x^2+1$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上既約である。よって $x,x+1,x^2+1$ は互いに異なるモニック既約多項式であり、$x^2,x+1,(x^2+1{)}^2$ は互いに素である。

中国剰余定理. したがって環の同型
$$R\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2)\times {\mathbb{F}}_3[x]/(x+1)\times {\mathbb{F}}_3[x]/((x^2+1{)}^2)$$
が成り立つ。

単元の個数. 直積の元が単元であるのは、各成分が単元であるときに限る。
- $A_1={\mathbb{F}}_3[x]/(x^2)$: 元は $a+bx(a,b\in {\mathbb{F}}_3)$ の $9$ 個。$a\ne 0$ なら $(a+bx)(a^{-1}-a^{-2}bx)=1$ で単元、$a=0$ なら $(bx{)}^2=0$ でべき零なので単元でない。単元は $2\cdot 3=6$ 個。
- $A_2={\mathbb{F}}_3[x]/(x+1)\cong {\mathbb{F}}_3$: 単元は $2$ 個。
- $A_3={\mathbb{F}}_3[x]/((x^2+1{)}^2)$: 元の個数は $3^4=81$。$g$ の類が単元 $⟺\gcd (g,(x^2+1{)}^2)=1⟺x^2+1\nmid g$。$x^2+1$ で割り切れる類は $(x^2+1)h(\mathrm{deg}h<2)$ の形で $3^2=9$ 個。よって単元は $81-9=72$ 個。

ゆえに $u=6\cdot 2\cdot 72=864$。

イデアルの個数. ${\mathbb{F}}_3[x]$ は単項イデアル整域なので、$R$ のイデアルは $(f)$ を含む ${\mathbb{F}}_3[x]$ のイデアル $(g)$ と $1$ 対 $1$ に対応し、それは $f$ のモニックな約数 $g$ と $1$ 対 $1$ に対応する。$f$ のモニックな約数は
$$g=x^a(x+1{)}^b(x^2+1{)}^c(0\le a\le 2,0\le b\le 1,0\le c\le 2)$$
の形のものですべてなので、その個数は $3\cdot 2\cdot 3=18$。よって $m=18$。

以上より $(u,m)=(864,18)$。

${\mathbb{F}}_3$ 上 $x^2+1$ は既約（$-1$ は平方でない）、$x$, $x+1$ も既約で互いに素。中国剰余定理より
$$R\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2)\times {\mathbb{F}}_3[x]/(x+1)\times {\mathbb{F}}_3[x]/((x^2+1{)}^2).$$

単元の個数:
- ${\mathbb{F}}_3[x]/(x^2)$: 位数 $9$、極大イデアル $(x)$ の位数 $3$ なので単元は $9-3=6$
- ${\mathbb{F}}_3[x]/(x+1)={\mathbb{F}}_3$: 単元 $2$
- ${\mathbb{F}}_3[x]/((x^2+1{)}^2)$: 位数 $81$、剰余体 ${\mathbb{F}}_9$、極大イデアルの位数 $9$ なので単元は $81-9=72$

$u=6\cdot 2\cdot 72=864$。

イデアル: 積環のイデアルは各成分のイデアルの直積。各成分は鎖環で、イデアルは $(p^j)$（$j=0,\dots ,e$）の $e+1$ 個。指数 $e$ は $2,1,2$ なので $3,2,3$ 個。$m=3\cdot 2\cdot 3=18$。

検算: $\#R=9\cdot 3\cdot 81=2187=3^7=3^{\mathrm{deg}f}$（$\mathrm{deg}f=2+1+4=7$）で整合。