代数学の問題

手順 1：$f$ の既約分解を確かめる。
$x-1$ は 1 次式なので既約です。$x^2+2$ は 2 次式なので、${\mathbb{F}}_5$ に根をもたなければ既約です。$x=0,1,2,3,4$ を代入すると $x^2=0,1,4,4,1$ なので
$$x^2+2\equiv 2,3,1,1,3(\mathrm{mod}5)$$
となり、どれも $0$ ではありません。したがって $x^2+2$ は ${\mathbb{F}}_5$ 上の 2 次の既約多項式です。よって
$$f=(x-1{)}^2(x^2+2)$$
が既約分解です（$x-1$ と $x^2+2$ は異なる既約多項式）。

手順 2：イデアルの個数。
${\mathbb{F}}_5[x]/(f)$ のイデアルは、$f$ のモニックな約元 $g$ と、$g$ で生成されるイデアル $(g)/(f)$ によって 1 対 1 に対応します。$f$ のモニックな約元は
$$(x-1{)}^a(x^2+2{)}^b(a=0,1,2,b=0,1)$$
の形のものだけなので、積の法則より個数は $3\times 2=6$ です。よってイデアルは $6$ 個です。

手順 3：単元の個数。
$(x-1{)}^2$ と $x^2+2$ は互いに素なので、中国剰余定理により
$$R\cong {\mathbb{F}}_5[x]/((x-1{)}^2)\times {\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+2)$$
です。直積の元が単元であることは、各成分が単元であることと同値なので、単元の個数は各成分の単元の個数の積になります。

$d$ 次既約多項式 $g$ について ${\mathbb{F}}_p[x]/(g^e)$ の単元の個数は $p^{de}-p^{d(e-1)}$ です。
- ${\mathbb{F}}_5[x]/((x-1{)}^2)$：$p=5,d=1,e=2$ より $5^2-5^1=20$。
- ${\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+2)$：$p=5,d=2,e=1$ より $5^2-5^0=24$（元の個数 $25$ の体なので $0$ 以外の $24$ 個が単元）。

よって単元の個数は $20\times 24=480$ です。

以上より、答えは $(6,480)$ です。

${\mathbb{F}}_5$ で $x^2+2=0$ すなわち $x^2=3$ を考える。${\mathbb{F}}_5$ の平方は $0,1,4$ のみで $3$ は含まれないので、$x^2+2$ は ${\mathbb{F}}_5$ 上で根をもたず、2次なので既約である。また $x=1$ を代入すると $1+2=3\ne 0$ なので、$x-1$ と $x^2+2$ は互いに素である。

中国剰余定理より
$$R\cong {\mathbb{F}}_5[x]/((x-1{)}^2)\times {\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+2)\cong {\mathbb{F}}_5[t]/(t^2)\times {\mathbb{F}}_{25}.$$

イデアルの個数: 環の直積のイデアルは各因子のイデアルの直積になる。${\mathbb{F}}_5[t]/(t^2)$ のイデアルは $0,(t),$ 全体の3個、体 ${\mathbb{F}}_{25}$ のイデアルは $0$ と全体の2個。よって $3\times 2=6$ 個。

単元の個数: ${\mathbb{F}}_5[t]/(t^2)$ は元が25個で、単元は定数項が $0$ でない元なので $25-5=20$ 個。${\mathbb{F}}_{25}$ の単元は $24$ 個。よって $20\times 24=480$ 個。

検算: $\mathrm{deg}f=4$ なので $|R|=625$。オイラー関数の類似で $625\cdot (1-1/5)(1-1/25)=625\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{24}{25}=480$ となり、一致する。

答えは $(6,480)$。