代数学の問題

方針 $\mathbb{Z}[i]$ は単項イデアル整域（ユークリッド整域）なので、$R=\mathbb{Z}[i]/(30)$ のイデアルは、$(30)$ を含む $\mathbb{Z}[i]$ のイデアル $(d)$、つまり $30$ の約元 $d$（単元倍の違いは同一視）と 1 対 1 に対応する。そこで $30$ を $\mathbb{Z}[i]$ で素元分解する。

手順 1: 有理素数ごとに分解する。 $30=2\cdot 3\cdot 5$ である。

• $2$: $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$ より $2=-i(1+i{)}^2$。$N(1+i)=1^2+1^2=2$ は素数なので $1+i$ は素元。
• $3$: $3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので $3$ は $\mathbb{Z}[i]$ でも素元のまま。（実際、$3=\alpha \beta$ と非自明に分解できたとすると $N(\alpha )N(\beta )=N(3)=9$ より $N(\alpha )=3$ となるが、$a^2+b^2=3$ を満たす整数 $a,b$ はない。）
• $5$: $5\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので 2 つの素元の積になる。$5=2^2+1^2$ より $5=(2+i)(2-i)$。$N(2\pm i)=5$ は素数なので $2\pm i$ は素元。また $\frac{2-i}{2+i}=\frac{(2-i{)}^2}{5}=\frac{3-4i}{5}\notin \mathbb{Z}[i]$ なので、$2+i$ と $2-i$ は単元倍の関係にない（異なる素元）。

よって
$$30=-i(1+i{)}^2\cdot 3\cdot (2+i)(2-i).$$

手順 2: 約元の個数を数える。 $30$ の約元は、単元倍を除いて
$$(1+i{)}^a\cdot 3^b\cdot (2+i{)}^c(2-i{)}^e(a=0,1,2;b,c,e=0,1)$$
の形のものに限られる。指数の選び方は積の法則により
$$3\times 2\times 2\times 2=24\text{通り}.$$

結論 $R$ のイデアルは $24$ 個である。

$\mathbb{Z}[i]$ は単項イデアル整域（ユークリッド整域）である。$R=\mathbb{Z}[i]/(30)$ のイデアルは、$(30)$ を含む $\mathbb{Z}[i]$ のイデアル、すなわち $30$ の約元が生成するイデアルと 1 対 1 に対応する。

$30=2\cdot 3\cdot 5$ を $\mathbb{Z}[i]$ で素元分解する。
- $2=-i(1+i{)}^2$（$-i$ は単元）。
- $3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので $3$ は素元のまま。
- $5=(2+i)(2-i)$。$2+i$ と $2-i$ は互いに同伴でない素元。

よって $30=(\text{単元})\cdot (1+i{)}^2\cdot 3\cdot (2+i)(2-i)$ となる。

約元（単元倍を除く）の個数は、各素元の指数の選び方の積である。
- $(1+i)$ の指数は $0,1,2$ の 3 通り。
- $3$ の指数は $0,1$ の 2 通り。
- $(2+i)$ の指数は 2 通り。
- $(2-i)$ の指数は 2 通り。

合計は $3\cdot 2\cdot 2\cdot 2=24$ 個。

検算として、中国剰余定理より $R\cong \mathbb{Z}[i]/(1+i{)}^2\times \mathbb{Z}[i]/(3)\times \mathbb{Z}[i]/(2+i)\times \mathbb{Z}[i]/(2-i)$ である。各因子のイデアル数は順に 3（鎖環）、2（体 ${\mathbb{F}}_9$）、2（体 ${\mathbb{F}}_5$）、2（体 ${\mathbb{F}}_5$）で、積は 24 となり一致する。