代数学の問題

方針 $S_n$ では、2 つの置換が共役であることと、巡回型が等しいことは同値です。したがって、$\sigma$ と共役な元の個数は、$\sigma$ と同じ巡回型をもつ $S_6$ の元の個数に等しくなります。

手順 1: 巡回型を求める
$\sigma =(14)(265)$ では、$3$ が動かずに固定されます。よって $\sigma$ は
- 長さ $1$ の巡回置換 $(3)$ が $1$ 個
- 長さ $2$ の巡回置換 $(14)$ が $1$ 個
- 長さ $3$ の巡回置換 $(265)$ が $1$ 個

からなります。巡回型は $1^1{2}^1{3}^1$ です（$1+2+3=6$ で確かに $6$ 文字です）。すなわち $m_1=1,m_2=1,m_3=1$ です。

手順 2: 公式に代入する
巡回型 $1^{m_1}{2}^{m_2}{3}^{m_3}\cdots$ の共役類の元の個数は
$$\frac{n!}{{\prod }_k{k}^{m_k}{m}_k!}$$
で与えられます。$n=6$ を代入すると
$$\frac{6!}{(1^1\cdot 1!)(2^1\cdot 1!)(3^1\cdot 1!)}=\frac{720}{1\cdot 2\cdot 3}=120$$
となります。

検算（直接数える）
長さ $3$ の巡回置換に使う $3$文字の選び方は ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通りです。選んだ $3$ 文字の巡回置換は円順列で $(3-1)!=2$ 通りあります。残り $3$ 文字から互換に使う $2$ 文字の選び方は ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通りです。最後の $1$ 文字は固定点になります。積の法則より $20\times 2\times 3=120$ となり、公式の値と一致します。

よって、求める個数は $120$ です。

$\sigma =(14)(265)$ の巡回置換型は、長さ 2 の巡回が 1 個、長さ 3 の巡回が 1 個、長さ 1 の巡回（固定点）が 1 個（点 3）である。型は $(3,2,1)$。
$S_n$ では共役類は巡回置換型で決まるので、共役な元の個数は型 $(3,2,1)$ をもつ元の個数に等しい。

中心化群の位数で数える方法：型が $1^{m_1}{2}^{m_2}{3}^{m_3}$ のとき、中心化群の位数は $\prod k^{m_k}{m}_k!$。ここでは $1^1\cdot 1!\cdot 2^1\cdot 1!\cdot 3^1\cdot 1!=6$。よって共役類の大きさは $6!/6=720/6=120$。

直接数える方法による検算：固定点を 1 つ選ぶ方法は 6 通り。残り 5 個から 3 個を選んで 3-巡回を作る方法は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$ 通りで、各 3 個の組に対して 3-巡回は 2 通り。残り 2 個は互換 1 通り。合計 $6\times 10\times 2\times 1=120$。一致する。