代数学の問題

手順 1：$\sigma$ を巡回置換の積に分解する。

$1\to 4\to 1$ より巡回置換 $(14)$ ができる。$2\to 6\to 3\to 2$ より巡回置換 $(263)$ ができる。$5\to 5$ より $5$ は動かない。したがって
$$\sigma =(14)(263)$$
となる。長さ $1$ の巡回置換が $1$ 個、長さ $2$ が $1$ 個、長さ $3$ が $1$ 個なので、巡回型は $1^1{2}^1{3}^1$ である。つまり $m_1=1,m_2=1,m_3=1$ で、ほかの $m_k$ は $0$ である。

手順 2：共役類を巡回型で言いかえる。

$S_n$ では、2 つの置換が共役であることと、巡回型が等しいことは同値である。よって $\sigma$ の共役類は、巡回型が $1^1{2}^1{3}^1$ である $S_6$ の置換全体と一致する。

手順 3：公式で元の個数を数える。

巡回型 $1^{m_1}{2}^{m_2}\cdots$ の置換の個数は $\frac{n!}{{\prod }_k{k}^{m_k}{m}_k!}$ である。$n=6$ を代入すると
$$\frac{6!}{(1^1\cdot 1!)(2^1\cdot 1!)(3^1\cdot 1!)}=\frac{720}{1\cdot 2\cdot 3}=120.$$

検算（直接数える）。

• 長さ $3$ の巡回置換に使う $3$ 文字の選び方は ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通りである。選んだ $3$ 文字の巡回置換は円順列で $(3-1)!=2$ 通りある。よって $40$ 通り。
• 残り $3$ 文字から互換に使う $2$ 文字を選ぶ方法は $3$ 通りである。残りの $1$ 文字は固定される。

積の法則より $40\times 3=120$ となり、公式の値と一致する。

よって答えは $120$ である。

σ の対応は 1→4, 2→6, 3→2, 4→1, 5→5, 6→3 である。
1→4→1 より互換 (1 4) が得られる。
2→6→3→2 より 3 サイクル (2 6 3) が得られる。
5→5 は不動点である。
よって σ = (1 4)(2 6 3) で、サイクル型は 3+2+1 である。

S_6 では、共役類は同じサイクル型の置換全体である。そのため、共役な元の個数は共役類の大きさに等しい。
中心化群の位数は、サイクル長 k が m_k 個あるとき ∏ k^{m_k} m_k! で与えられる。
型 3+2+1 では各長さが 1 個ずつなので、3·2·1 = 6 となる。
共役類の大きさは 6!/6 = 720/6 = 120 である。

検算として直接数える。
3 サイクルの 3 元を選ぶ方法は C(6,3)=20 通りで、それぞれ 2 通りの 3 サイクルがあるので 40 通りである。
残り 3 元から互換の 2 元を選ぶ方法は C(3,2)=3 通りである。
合計は 40·3 = 120 で、一致する。