代数学の問題

手順 1：互いに素な巡回置換の積に分解する。

まだ現れていない最小の数字から出発し、$\sigma$ で移る先を順にたどって、出発点に戻るまで続けます。

• $1$ から：$1\to 5\to 9\to 3\to 1$ なので、巡回置換 $(1593)$（長さ $4$）。
• まだ現れていない最小の数字 $2$ から：$2\to 6\to 8\to 2$ なので、$(268)$（長さ $3$）。
• 次に $4$ から：$4\to 7\to 4$ なので、$(47)$（長さ $2$）。

これで $1$ から $9$ までのすべての数字が現れたので、
$$\sigma =(1593)(268)(47)$$
です。長さの合計は $4+3+2=9$ となり、確かにすべての数字を使っています。

手順 2：位数を求める。

これらの巡回置換は動かす数字が互いに重ならない（互いに素な）ので、互いに可換です。よって
$${\sigma }^m=(1593{)}^m(268{)}^m(47{)}^m$$
であり、動かす数字が重ならないことから、これが恒等置換になるのは各因子がそれぞれ恒等置換になるとき、すなわち $m$ が $4$, $3$, $2$ のすべての倍数になるときです。長さ $k$ の巡回置換の位数は $k$ なので、$\sigma$ の位数は長さの最小公倍数
$$\mathrm{lcm}(4,3,2)=12$$
です。

（$4=2^2$, $3=3$, $2=2$ より、最小公倍数は $2^2\cdot 3=12$。）

よって答えは $12$ です。

σ の対応は 1→5, 2→6, 3→1, 4→7, 5→9, 6→8, 7→4, 8→2, 9→3 である。
1 から追うと 1→5→9→3→1 で、長さ 4 の巡回置換 (1 5 9 3) になる。
2 から追うと 2→6→8→2 で、長さ 3 の巡回置換 (2 6 8) になる。
4 から追うと 4→7→4 で、長さ 2 の巡回置換 (4 7) になる。
これで 4+3+2=9 個の文字がすべて使われた。
位数は各巡回置換の長さの最小公倍数なので、lcm(4,3,2)=12 である。
検算として、σ^12 では各サイクルが 4, 3, 2 の倍数回だけ回るので恒等置換になる。σ^6 では長さ 4 のサイクルが 6 回回って 2 だけずれた状態になり、恒等置換ではない。σ^4 では長さ 3 のサイクルが 4 回回って 1 だけずれた状態になり、恒等置換ではない。よって最小は 12 である。