代数学の問題

手順 1：巡回置換の積に分解する。

まだ現れていない最小の数字から出発し、$\sigma$ で移る先を元の数字に戻るまでたどる。

• $1$ から：$1\to 3\to 6\to 1$。よって巡回置換 $(136)$ が得られる。
• まだ現れていない最小の数字は $2$。$2\to 5\to 8\to 4\to 7\to 2$。よって巡回置換 $(25847)$ が得られる。

これで $1$ から $8$ までのすべての数字が現れたので、
$$\sigma =(136)(25847)$$
と互いに素な巡回置換の積に分解できる。

手順 2：位数を求める。

長さ $3$ の巡回置換の位数は $3$、長さ $5$ の巡回置換の位数は $5$ である。互いに素な巡回置換は互いに可換なので、
$${\sigma }^m=(136{)}^m(25847{)}^m$$
となる。2 つの巡回置換は異なる数字を動かすので、${\sigma }^m$ が恒等置換になるのは、$(136{)}^m$ と $(25847{)}^m$ がどちらも恒等置換になるときである。これは $m$ が $3$ の倍数かつ $5$ の倍数であることと同じである。したがって $\sigma$ の位数は、各巡回置換の長さの最小公倍数
$$\mathrm{lcm}(3,5)=15$$
である。

（注意：長さの和 $3+5=8$ ではなく、長さの最小公倍数をとる。）

答え：$15$

σ の対応は 1→3, 2→5, 3→6, 4→7, 5→8, 6→1, 7→2, 8→4 である。
1 から始めると 1→3→6→1 となり、長さ 3 の巡回置換 (1 3 6) が得られる。
2 から始めると 2→5→8→4→7→2 となり、長さ 5 の巡回置換 (2 5 8 4 7) が得られる。
よって σ=(1 3 6)(2 5 8 4 7) であり、これらは互いに素な巡回置換である。
互いに素な巡回置換の積の位数は、各巡回置換の長さの最小公倍数に等しい。したがって位数は lcm(3,5)=15 である。
検算: σ^15 では、長さ 3 のサイクルは 15 が 3 の倍数なので恒等になり、長さ 5 のサイクルも 15 が 5 の倍数なので恒等になる。15 未満の正の整数 m では、σ^m が恒等になるには 3 と 5 の両方が m を割る必要があるが、そのような最小の m は 15 である。
答え: 15