代数学の問題

方針 $S_n$ では、2 つの置換が共役であることと巡回型が等しいことは同値です。したがって、$\sigma$ と共役な元の個数は、$\sigma$ と同じ巡回型をもつ元の個数に等しくなります。

手順 1：巡回型を求める
$\sigma =(135)(26)$ は互いに素な巡回置換の積です。$1,2,\dots ,6$ のうち、どちらの巡回置換にも現れない $4$ は動かない（長さ $1$ の巡回置換）とみなします。よって巡回型は
$$1^1{2}^1{3}^1(m_1=1,m_2=1,m_3=1)$$
です。確認すると $1\cdot 1+2\cdot 1+3\cdot 1=6$ となっています。

手順 2：公式に代入する
巡回型 $1^{m_1}{2}^{m_2}\cdots$ の共役類の元の個数は $\frac{n!}{{\prod }_k{k}^{m_k}{m}_k!}$ です。$n=6$ なので
$$\frac{6!}{(1^1\cdot 1!)(2^1\cdot 1!)(3^1\cdot 1!)}=\frac{720}{1\cdot 2\cdot 3}=120.$$

検算（直接数える）
長さ $3$ の巡回置換に使う $3$ 文字の選び方は ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通りです。選んだ $3$ 文字でできる長さ $3$ の巡回置換は円順列で $(3-1)!=2$ 通りあります。残り $3$ 文字から互換に使う $2$ 文字の選び方は ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通りで、互換は $1$ 通りに決まります。積の法則より $20\times 2\times 3=120$ となり、公式の結果と一致します。

したがって、求める個数は $120$ です。

$S_6$ では、共役類は巡回置換の型（サイクル型）で決まる。$\sigma =(135)(26)$ は、固定点 4 を含めると型が $3+2+1$ である。

共役類の大きさは、中心化群の位数を使うと $|S_6|/|C(\sigma )|$ で求められる。
型 $3^1{2}^1{1}^1$ の中心化群の位数は ${\prod }_k{k}^{m_k}{m}_k!=3\cdot 2\cdot 1=6$ である。
したがって、共役類の大きさは $720/6=120$ となる。

直接数えても確かめられる。まず 3 点を選ぶ方法が $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ 通りある。選んだ 3 点による 3-サイクルは 2 通りある。残り 3 点から 2 点を選ぶ方法は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ 通りで、互換は 1 通りに決まる。よって $20\cdot 2\cdot 3=120$ 個となり、上の結果と一致する。