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代数学の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学代数学

加法群 $Z /36 Z$ を考える。その元 $k$ （ $k = 0, 1, 2, \dots, 35$ ）のうち、位数がちょうど $12$ であるものの個数を求めよ。

この問題で使うもの

群の位数と元の位数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

巡回群 $Z / n Z$ の元 $k$ の位数を求める公式 $\frac{n}{g cd ( k , n )}$ を使います。

ヒント 2

$\frac{36}{g cd ( k , 36 )} = 12$ は $g cd (k, 36) = 3$ と同じ条件です。位数 $d$ の元の個数が $φ (d)$ であることも使えます。

ヒント 3

$k = 3 m$ （ $0 \leq m \leq 11$ ）とおくと、条件は $g cd (m, 12) = 1$ になります。このような $m$ を数えましょう。

答えと解説

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4

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解説を読む

方針巡回群 $Z / n Z$ の元 $k$ の位数は $\frac{n}{g cd ( k , n )}$ です。これを使って、位数が $12$ になる条件を $g cd$ の条件に言いかえます。

ステップ 1（位数の公式を使う） $n = 36$ なので、 $k$ の位数は $\frac{36}{g cd ( k , 36 )}$ です。これが $12$ になる条件は
$\frac{36}{g cd ( k , 36 )} = 12 ⟺ g cd (k, 36) = 3$
です。なお、 $12$ は $36$ の約数なので、ラグランジュの定理（元の位数は群の位数を割り切る）とも矛盾しません。

ステップ 2（条件を満たす $k$ を数える） $g cd (k, 36) = 3$ のとき $k$ は $3$ の倍数なので $k = 3 m$ （ $m = 0, 1, \dots, 11$ ）と書けます。 $36 = 3 \cdot 12$ より $g cd (3 m, 36) = 3 g cd (m, 12)$ なので、条件は
$g cd (m, 12) = 1$
となります。 $0 \leq m \leq 11$ で $12$ と互いに素なのは $m = 1, 5, 7, 11$ の $4$ 個です。よって $k = 3, 15, 21, 33$ です。

確認一般に、巡回群 $Z / n Z$ の位数 $d$ （ $d ∣ n$ ）の元はちょうど $φ (d)$ 個あります。 $φ (12) = 12 (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) = 4$ となり、上の結果と一致します。

以上より、求める個数は $4$ です。

別解

$Z /36 Z$ における $k$ の位数は $36/ g cd (k, 36)$ である（ $0$ の位数は 1 で、 $g cd (0, 36) = 36$ とみなせば同じ式で得られる）。
位数が 12 となる条件は $g cd (k, 36) = 3$ である。
$k = 3 m$ とおくと $0 \leq m \leq 11$ で、 $g cd (3 m, 36) = 3 g cd (m, 12)$ となる。よって $g cd (m, 12) = 1$ が条件になる。
$0 \leq m \leq 11$ で 12 と互いに素な $m$ は $1, 5, 7, 11$ の 4 個である。これは $φ (12) = 4$ に一致する。
検算: 巡回群では位数 $d$ の元の個数は $φ (d)$ で、12 は 36 の約数だから $φ (12) = 4$ 個。
例えば $k = 3$ のとき、位数は $36/3 = 12$ で条件を満たす。 $k = 15$ のとき、 $g cd (15, 36) = 3$ なので位数は 12 となる。
答え: 4

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