代数学の問題

手順 1：元の位数の公式を使う。

巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元 $k$ の位数は
$$\frac{n}{\gcd (k,n)}$$
である（$k=0$ のときは $\gcd (0,n)=n$ とみて、位数は $1$）。ここでは $n=40$ なので、元 $k$ の位数は $\frac{40}{\gcd (k,40)}$ である。

手順 2：位数が $8$ になる条件に書き直す。

$$\frac{40}{\gcd (k,40)}=8⟺\gcd (k,40)=5.$$
なお、$8$ は $40$ を割り切るので、ラグランジュの定理に反せず、位数 $8$ の元は存在しうる。

手順 3：条件を満たす $k$ を数える。

$\gcd (k,40)=5$ となるためには、$k$ は $5$ の倍数でなければならない。そこで $k=5m$（$m=0,1,\dots ,7$）とおく。$40=5\cdot 8$ なので
$$\gcd (5m,40)=5\gcd (m,8)$$
となる。よって条件は $\gcd (m,8)=1$、すなわち $m$ が奇数であることと同値である。

$m=1,3,5,7$ より、$k=5,15,25,35$ の $4$ 個が条件を満たす。

確認： 位数 $d$ の元の個数は $\phi (d)$ という事実とも一致する。実際、
$$\phi (8)=8\left(1-\frac{1}{2}\right)=4$$
である。

したがって、求める個数は $4$ である。

$\mathbb{Z}/40\mathbb{Z}$ は位数 40 の巡回群である。巡回群では、位数 $d$ が 40 の約数であるとき、位数がちょうど $d$ の元は $\phi (d)$ 個ある。$8\mid 40$ なので、求める個数は $\phi (8)=8-4=4$ である。

確認: 剰余類 $k$ の位数は $40/\gcd (k,40)$ である。これが 8 になるのは $\gcd (k,40)=5$ のときである。$k=5m$ とおくと $0\le m\le 7$ で $\gcd (m,8)=1$ が条件になる。よって $m=1,3,5,7$ となり、$k=5,15,25,35$ の 4 個である。