代数学の問題

方針　位数 $3$ の元の個数を数え、それを $1$ つの部分群に含まれる位数 $3$ の元の個数で割る。

手順 1：位数 $3$ の部分群の形を確かめる

$3$ は素数なので、ラグランジュの定理より、位数 $3$ の群の単位元以外の元の位数は $3$ である。よって位数 $3$ の部分群 $H$ は巡回群であり、単位元以外の $2$ 個の元はどちらも位数 $3$ で、どちらも $H$ を生成する。つまり $H$ は位数 $3$ の元をちょうど $\phi (3)=2$ 個含む。

また、相異なる位数 $3$ の部分群 $H_1,H_2$ について、$H_1\cap H_2$ は $H_1$ の部分群なので位数は $1$ か $3$ である。$H_1\ne H_2$ より位数は $1$ となり、共通部分は単位元だけである。したがって、位数 $3$ の元はそれぞれちょうど $1$ つの位数 $3$ の部分群に属する。

手順 2：$3x=0$ をみたす元を成分ごとに数える

$(a,b)\in G$ について $3(a,b)=(3a,3b)=(0,0)$ となるのは、$3a\equiv 0(\mathrm{mod}6)$ かつ $3b\equiv 0(\mathrm{mod}9)$ のときである。

• $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ で $3a\equiv 0(\mathrm{mod}6)$ をみたすのは $a=0,2,4$ の $3$ 個。
• $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ で $3b\equiv 0(\mathrm{mod}9)$ をみたすのは $b=0,3,6$ の $3$ 個。

積の法則より、$3x=0$ をみたす $x\in G$ は $3\times 3=9$ 個ある。

手順 3：位数 $3$ の元の個数

$3x=0$ をみたす元の位数は $3$ の約数、すなわち $1$ か $3$ である。位数 $1$ の元は単位元 $(0,0)$ だけなので、位数 $3$ の元は
$$9-1=8\text{個}$$
である。

手順 4：部分群の個数

手順 1 より、位数 $3$ の元は $2$ 個ずつ $1$ つの部分群に属するので、位数 $3$ の部分群の個数は
$$\frac{8}{\phi (3)}=\frac{8}{2}=4$$
である。

（実際、$⟨(2,0)⟩,⟨(0,3)⟩,⟨(2,3)⟩,⟨(2,6)⟩$ の $4$ 個である。）

答え　$4$ 個

位数 3 の部分群は巡回群であり、位数 3 の元がちょうど 2 個ずつ（生成元）含まれる。したがって、位数 3 の元の個数を数えて 2 で割ればよい。

$G=\mathbb{Z}/6\times \mathbb{Z}/9$ の元 $(a,b)$ について、$3(a,b)=(0,0)$ となる条件は、$3a\equiv 0(\mathrm{mod}6)$ かつ $3b\equiv 0(\mathrm{mod}9)$。
- $3a\equiv 0(\mathrm{mod}6)$ より $a\in \{0,2,4\}$ の 3 通り。
- $3b\equiv 0(\mathrm{mod}9)$ より $b\in \{0,3,6\}$ の 3 通り。

よって $G[3]=\{x\in G\mid 3x=0\}$ の位数は $9$ で、$(\mathbb{Z}/3{)}^2$ と同型である。位数 3 の元は単位元を除いた $8$ 個。

位数 3 の部分群の個数は $8/2=4$。

検算：$(\mathbb{Z}/3{)}^2$ の 1 次元部分空間の個数は $(3^2-1)/(3-1)=4$ で一致する。